3 Mga Paraan upang Isaalang-alang ang isang Trinomial

2024 May -akda: Jason Gerald | [email protected]. Huling binago: 2024-01-15 08:25

Ang trinomial ay isang ekspresyong algebraic na binubuo ng tatlong mga term. Malamang, magsisimula kang matuto kung paano i-factor ang isang quadratic trinomial, nangangahulugang isang trinomial na nakasulat sa form ax² + bx + c. Mayroong ilang mga trick upang malaman, na maaaring magamit para sa maraming iba't ibang mga uri ng mga quadratic trinomial, ngunit magagamit mo sila nang mas mahusay at mas mabilis sa pagsasanay. Ang mas mataas na order na mga polynomial, na may mga term na tulad ng x³ o x⁴, hindi laging malulutas sa parehong paraan, ngunit madalas mong gamitin ang simpleng pag-iingat ng katotohanan o pagpapalit upang gawin itong isang problema na maaaring malutas tulad ng anumang iba pang pormula ng quadratic.

Hakbang

Paraan 1 ng 3: Factoring x² + bx + c

Hakbang 1. Alamin ang pagpaparami ng PLDT

Maaaring natutunan mo kung paano i-multiply ang PLDT, o "Una, Sa Labas, Sa, Huling" upang i-multiply ang mga expression tulad ng (x + 2) (x + 4). Ito ay kapaki-pakinabang upang malaman kung paano gumagana ang pagpaparami bago namin salik:

Paramihin ang mga tribo Una: (x+2)(x+4) = x² + _
Paramihin ang mga tribo Sa labas: (x+2) (x +

Hakbang 4.) = x²+ 4x + _
Paramihin ang mga tribo Sa: (x +

Hakbang 2.)(x+4) = x²+ 4x + 2x + _
Paramihin ang mga tribo Pangwakas: (x +

Hakbang 2.) (x

Hakbang 4.) = x²+ 4x + 2x

Hakbang 8.
Pasimplehin: x²+ 4x + 2x + 8 = x²+ 6x + 8

Hakbang 2. Maunawaan ang paglalagay ng factoring

Kapag pinarami mo ang dalawang binomial gamit ang pamamaraan ng PLDT, nakakakuha ka ng isang trinomial (isang expression na may tatlong mga termino) sa form na x²+ b x + c, kung saan ang a, b, at c ay mga ordinaryong numero. Kung nagsimula ka sa isang equation na may parehong form, maaari mo itong ibahin sa dalawang binomial.

Kung ang mga equation ay hindi nakasulat sa ganitong pagkakasunud-sunod, muling ayusin ang mga equation upang magkaroon sila ng order na ito. Halimbawa, muling pagsusulat 3x - 10 + x² Naging x² + 3x - 10.
Dahil ang pinakamataas na lakas ay 2 (x², ang ganitong uri ng ekspresyon ay tinatawag na quadratic.

Hakbang 3. Mag-iwan ng isang blangko na puwang para sa sagot sa anyo ng pagpaparami ng PLDT

Sa ngayon, magsulat lamang (_ _)(_ _) kung saan mo isusulat ang sagot. Punan namin ito habang ginagawa ito

Huwag isulat ang + o - sa pagitan ng mga walang laman na termino dahil hindi pa namin alam ang tamang pag-sign

Hakbang 4. Punan ang mga unang term

Para sa mga simpleng problema, ang unang term ng iyong trinomial ay x lamang², ang mga termino sa Unang posisyon ay palaging x at x. Ito ang mga salik ng katagang x² dahil x beses x = x².

Ang aming halimbawa x² + 3x - 10 simula sa x², upang maaari kaming magsulat:
(x _) (x _)
Gagawa kami sa mas kumplikadong mga problema sa susunod na seksyon, kasama ang mga trinomial na nagsisimula sa mga term na tulad ng 6x² o -x². Pansamantala, sundin ang mga halimbawang tanong na ito.

Hakbang 5. Gumamit ng factoring upang hulaan ang Huling mga termino

Kung babalik ka at basahin ang mga hakbang para sa kung paano i-multiply ang PLDT, makikita mo na ang pag-multiply ng Huling mga termino ay magbubunga ng huling termino sa polynomial (mga term na walang x). Kaya't sa kadahilanan, kailangan nating maghanap ng dalawang numero kung saan kapag pinarami ay gagawa ng huling termino.

Sa aming halimbawa x² + 3x - 10, ang huling term ay -10.
Ano ang mga kadahilanan ng -10? Anong numero ang pinarami ng -10?
Mayroong maraming mga posibilidad: -1 beses 10, 1 beses -10, -2 beses 5, o 2 beses -5. Isulat ang mga pares na ito sa kung saan upang matandaan ang mga ito.
Huwag palitan lang ang aming sagot. Ang aming sagot ay dapat magmukhang ganito: (x _) (x _).

Hakbang 6. Subukan ang mga posibilidad na tumutugma sa produktong Panlabas at Panloob

Pinakipot namin ang Huling mga termino hanggang sa ilang mga posibilidad. Gamitin ang system ng pagsubok upang subukan ang bawat posibilidad, pagpaparami ng mga term na Panlabas at Panloob at paghahambing ng produkto sa aming trinomial. Halimbawa:

Ang aming orihinal na problema ay may term na "x" sa 3x, kaya dapat tumugma ang aming mga resulta sa pagsubok sa term na ito.
Mga pagsusulit -1 at 10: (x-1) (x + 10). Sa Labas + Sa Loob = 10x - x = 9x. Mali
Mga pagsusulit 1 at -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Mali ito. Sa katunayan, kung susubukan mo ang -1 at 10, malalaman mo na ang 1 at -10 ay kabaligtaran ng sagot sa itaas: -9x sa halip na 9x.
Mga pagsusulit -2 at 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Ang resulta ay tumutugma sa paunang polynomial, kaya narito ang tamang sagot: (x-2) (x + 5).
Sa mga simpleng kaso tulad nito, kung wala kang pare-pareho sa harap ng term na x², maaari mong gamitin ang mabilis na paraan: idagdag lamang ang dalawang mga kadahilanan at maglagay ng isang "x" sa likuran nito (-2 + 5 → 3x). Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi gagana para sa mas kumplikadong mga problema, kaya mas mahusay na alalahanin ang "malayong paraan" na inilarawan sa itaas.

Paraan 2 ng 3: Pag-factor ng Mas Malalim na Mga Trinomial

Hakbang 1. Gumamit ng simpleng paglalagay ng factoring upang gawing mas simple ang mga kumplikadong problema

Halimbawa, kailangan mong i-factor 3x² + 9x - 30. Humanap ng isang numero na maaaring salik sa lahat ng tatlong mga term ("pinakadakilang kadahilanan" o GCF). Sa kasong ito, ang GCF ay 3:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Kaya, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+ 3x-10). Maaari nating maitukoy ang bagong trinomial gamit ang mga hakbang sa seksyon sa itaas. Ang aming pangwakas na sagot ay (3) (x-2) (x + 5).

Hakbang 2. Maghanap para sa higit pang mga kumplikadong kadahilanan

Minsan, ang pagsasama sa factoring ay maaaring may kasamang variable, o maaaring kailanganin mong i-factor nang maraming beses upang makita ang pinakasimpleng posibleng pagpapahayag. Narito ang ilang mga halimbawa:

2x²y + 14xy + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)
x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² + 11x - 26)
-x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
Huwag kalimutang refactor ang bagong trinomial, gamit ang mga hakbang sa Paraan 1. Suriin ang iyong trabaho at hanapin ang mga halimbawa ng mga katulad na problema sa mga halimbawang katanungan malapit sa ilalim ng pahinang ito.

Hakbang 3. Malutas ang mga problema sa isang numero sa harap ng x².

Ang ilang mga quadratic trinomial ay hindi maaaring mabawasan sa pinakamadaling uri ng problema. Alamin kung paano malutas ang mga problema tulad ng 3x² + 10x + 8, pagkatapos ay magsanay nang mag-isa gamit ang mga halimbawang katanungan sa ilalim ng pahinang ito:

Itakda ang aming sagot na: (_ _)(_ _)
Ang aming mga "Una" na termino ay magkakaroon ng bawat x, at ang pagpaparami sa kanila ay nagbibigay ng 3x². Mayroon lamang isang posibilidad: (3x _) (x _).
Ilista ang mga kadahilanan ng 8. Ang mga logro ay 1 beses 8 o 2 beses 4.
Subukan ang posibilidad na ito gamit ang mga term na Panlabas at Panloob. Tandaan na ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay napakahalaga dahil ang Panlabas na term ay pinarami ng 3x sa halip na x. Subukan ang bawat posibilidad hanggang sa makalabas ka + Sa = 10x (mula sa orihinal na problema):
(3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x hindi
(3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x hindi
(3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x hindi
(3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x oo. Ito ang tamang kadahilanan.

Hakbang 4. Gumamit ng pagpapalit para sa mas mataas na order ng mga trinomial

Maaaring sorpresa ka ng iyong libro sa matematika sa mga equation na may mataas na kapangyarihan, tulad ng x⁴, kahit na pagkatapos mong gumamit ng simpleng pag-iingat upang mapadali ang problema. Subukang palitan ang isang bagong variable na ginagawang isang problemang alam mo kung paano lutasin. Halimbawa:

x⁵+ 13x³+ 36x
= (x) (x⁴+ 13x²+36)
Lumikha tayo ng isang bagong variable. Sabihin nating y = x² at ilagay sa ito:
(x) (y²+ 13y + 36)
= (x) (y + 9) (y + 4). Ngayon, i-convert ito pabalik sa paunang variable:
= (x) (x²+9) (x²+4)
= (x) (x ± 3) (x ± 2)

Paraan 3 ng 3: Pagtutukoy ng Mga Espesyal na Kaso

Hakbang 1. Maghanap ng mga pangunahing numero

Tingnan upang makita kung ang pare-pareho sa una o pangatlong term ng trinomial ay isang pangunahing numero. Ang isang pangunahing numero ay nahahati lamang sa sarili at 1, kaya mayroon lamang isang posibleng pares ng mga kadahilanan ng binomial.

Halimbawa, sa x² Ang + 6x + 5, 5 ay isang pangunahing numero, kaya ang binomial ay dapat na form (_ 5) (_ 1).
Sa problema ng 3x²Ang + 10x + 8, 3 ay isang pangunahing numero, kaya ang binomial ay dapat na form (3x _) (x _).
Para sa mga katanungan 3x²+ 4x + 1, parehong 3 at 1 ang pangunahing mga numero, kaya ang tanging posibleng solusyon ay (3x + 1) (x + 1). (Dapat mo pa ring i-multiply ang numerong ito upang suriin ang iyong sagot dahil ang ilang mga expression ay hindi maaaring maiakma talaga - halimbawa, 3x²+ 100x + 1 ay walang kadahilanan.)

Hakbang 2. Alamin kung ang trinomial ay isang perpektong parisukat

Ang isang perpektong parisukat na trinomial ay maaaring isinasaalang-alang sa dalawang magkaparehong mga binomial, at ang kadahilanan ay karaniwang nakasulat bilang (x + 1)² at hindi (x + 1) (x + 1). Narito ang ilang mga halimbawa na may posibilidad na lumitaw sa mga katanungan:

x²+ 2x + 1 = (x + 1)², at x²-2x + 1 = (x-1)²
x²+ 4x + 4 = (x + 2)², at x²-4x + 4 = (x-2)²
x²+ 6x + 9 = (x + 3)², at x²-6x + 9 = (x-3)²
Perpektong square trinomial sa form a x² Ang + bx + c ay palaging may mga term na a at c na positibong perpektong mga parisukat (tulad ng 1, 4, 9, 16, o 25) at isang term na b (positibo o negatibo) na katumbas ng 2 (√a * √c).

Hakbang 3. Alamin kung ang isang problema ay walang solusyon

Hindi lahat ng trinomial ay maaaring iakma. Kung hindi mo mai-factor ang isang quadratic trinomial (palakol²+ bx + c), gamitin ang quadratic formula upang hanapin ang sagot. Kung ang tanging sagot ay ang parisukat na ugat ng isang negatibong numero, walang tunay na solusyon sa numero, kung gayon ang problema ay walang mga kadahilanan.

Para sa mga hindi parisukat na trinomial, gamitin ang Eisenstein Criterion, na inilalarawan sa seksyon ng Mga Tip

Mga Sagot at Halimbawang Katanungan

Mga sagot sa mga "kumplikadong pag-iingat ng factoring" na mga katanungan.

Ito ang mga katanungan mula sa hakbang na "mas kumplikadong mga kadahilanan". Pinadali namin ang mga problema sa mas madaling mga problema, kaya subukang lutasin ang mga ito gamit ang mga hakbang sa pamamaraan 1, pagkatapos suriin ang iyong trabaho dito:
- (2y) (x² + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
- (x²) (x² + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
- (-1) (x² - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²
Subukan ang mas kumplikadong mga problema sa pag-iingat.

Ang mga problemang ito ay may iisang kadahilanan sa bawat term na dapat munting isahin. I-block ang mga blangko pagkatapos ng katumbas na pag-sign upang makita ang mga sagot upang masuri mo ang iyong trabaho:
- 3x³+ 3x²-6x = (3x) (x + 2) (x-1) harangan ang blangko upang makita ang sagot
- -5x³y²+ 30x²y²-25y²x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
Magsanay sa paggamit ng mga katanungan. Ang mga problemang ito ay hindi maitatakda sa mas madaling mga equation, kaya mahahanap mo ang sagot sa form (_x + _) (_ x + _) gamit ang trial at error:
- 2x²+ 3x-5 = (2x + 5) (x-1) block upang makita ang sagot
- 9x²+ 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)² (Pahiwatig: Baka gusto mong subukan ang higit sa isang factor na pares para sa 9x.)
Mga Tip
- Kung hindi mo malaman kung paano i-factor ang isang quadratic trinomial (palakol²+ bx + c), maaari mong gamitin ang quadratic formula upang maghanap x.
- Habang hindi mo kailangang malaman kung paano ito gawin, maaari mong gamitin ang Eisenstein Criteria upang mabilis na matukoy kung ang isang polynomial ay hindi maaaring gawing simple at itinakda. Nalalapat ang pamantayan na ito sa anumang polynomial ngunit pinakamahusay na ginagamit para sa mga trinomial. Kung mayroong isang pangunahing numero p na naghahati ng pantay-pantay sa huling dalawang mga termino at nasiyahan ang mga sumusunod na kundisyon, pagkatapos ay hindi maaaring gawing simple ang polynomial:
  - Patuloy na mga termino (walang mga variable) ay mga multiply ng p ngunit hindi mga multiply ng p².
  - Ang unlapi (halimbawa, a sa palakol²Ang + bx + c) ay hindi isang maramihang p.
  - Halimbawa, 14x² + 45x +51 ay hindi maaaring gawing simple dahil mayroong isang pangunahing numero (3) na maaaring mahati ng pareho ng 45 at 51, ngunit hindi nahahati ng 14, at ang 51 ay hindi nahahati ng 3².
Babala

Bagaman totoo ito para sa mga quadratic trinomial, ang trinomial na maaaring isinasaalang-alang ay hindi kinakailangang produkto ng dalawang binomial. Halimbawa, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).