Paano Gumuhit ng isang square Graph: 10 Hakbang (na may Mga Larawan)

2024 May -akda: Jason Gerald | [email protected]. Huling binago: 2024-02-01 14:16

Kapag kinakatawan nang graphic, ang quadratic equation ay ng form palakol² + bx + c o a (x - h)² + k bumuo ng letrang U o isang baligtad na curve ng U na tinatawag na parabola. Ang pagkuha ng isang parisukat na equation ay naghahanap ng vertex, direksyon, at madalas ang x at y intersection. Sa mga kaso ng medyo simpleng mga quadratic equation, ang pagpasok ng isang hanay ng mga halagang x at paglalagay ng kurba batay sa mga kinalabasan na puntos ay maaaring sapat. Tingnan ang Hakbang 1 sa ibaba upang makapagsimula.

Hakbang

Hakbang 1. Tukuyin ang anyo ng quadratic equation na mayroon ka

Ang mga quadratic equation ay maaaring isulat sa tatlong magkakaibang anyo: pangkalahatang anyo, form na vertex, at quadratic form. Maaari mong gamitin ang anumang form upang i-grap ang isang quadratic equation; ang proseso ng paglalarawan ng bawat graph ay bahagyang naiiba. Kung gumagawa ka ng takdang-aralin, karaniwang makakatanggap ka ng mga katanungan sa isa sa dalawang form na ito - sa madaling salita, hindi ka mapipili, kaya pinakamahusay na maunawaan ang pareho. Ang dalawang anyo ng quadratic equation ay:

• Pangkalahatang porma.

  Sa form na ito, ang quadratic equation ay nakasulat bilang: f (x) = ax² + bx + c kung saan ang a, b, at c ay totoong mga numero at ang a ay hindi zero.

  Halimbawa, ang dalawang mga quadratic equation ng pangkalahatang form ay f (x) = x² + 2x + 1 at f (x) = 9x² + 10x -8.

• Porma ng rurok.

  Sa form na ito, ang quadratic equation ay nakasulat bilang: f (x) = a (x - h)² + k kung saan ang a, h, at k ay totoong mga numero at ang a ay hindi zero. Tinawag itong vertex form dahil ang h at k ay agad na magbibigay ng vertex (midpoint) ng iyong parabola sa puntong (h, k).

  Ang dalawang mga equation na form ng vertex ay f (x) = 9 (x - 4)² + 18 at -3 (x - 5)² + 1

• Upang mai-graph ang anumang uri ng equation, dapat muna nating hanapin ang vertex ng parabola, na kung saan ay ang midpoint (h, k) sa dulo ng curve. Ang mga coordinate ng mga taluktok sa pangkalahatang anyo ay kinakalkula bilang: h = -b / 2a at k = f (h), habang nasa rurok na form, h at k ay nasa equation.

Hakbang 2. Tukuyin ang iyong mga variable

Upang malutas ang isang quadratic na problema, ang mga variable na a, b, at c (o a, h, at k) ay karaniwang kailangang tukuyin. Ang isang ordinaryong problema sa algebra ay magbibigay ng isang quadratic equation na may mga magagamit na variable, karaniwang sa pangkalahatang anyo, ngunit kung minsan ay nasa pinakamataas na form.

• Halimbawa, para sa isang equation ng pangkalahatang form f (x) = 2x² + 16x + 39, mayroon kaming isang = 2, b = 16, at c = 39.
• Para sa rurok na equation na f (x) = 4 (x - 5)² + 12, mayroon kaming isang = 4, h = 5, at k = 12.

Hakbang 3. Kalkulahin h

Sa equation ng form na vertex, ang halaga ng iyong h ay naibigay na, ngunit sa pangkalahatang equation ng form, dapat makalkula ang halagang h. Tandaan na, para sa mga equation ng pangkalahatang form, h = -b / 2a.

• Sa aming pangkalahatang halimbawa ng form (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Matapos ang paglutas, mahahanap namin ang h = - 4.
• Sa aming halimbawa ng form na vertex (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), alam natin na h = 5 nang hindi gumagawa ng anumang matematika.

Hakbang 4. Kalkulahin k

Tulad ng h, k ay kilala na sa equation ng rurok na form. Para sa mga equation ng pangkalahatang form, tandaan na k = f (h). Sa madaling salita, maaari kang makahanap ng k sa pamamagitan ng pagpapalit ng lahat ng mga halagang x sa iyong equation sa mga halagang h nahanap mo lang.

• Natukoy na namin sa aming pangkalahatang halimbawa ng form na h = -4. Upang makahanap ng k, nilulutas namin ang aming equation sa pamamagitan ng pag-plug sa aming halaga ng h sa lugar ng x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Hakbang 7.

• Sa aming halimbawa ng pinakamataas na form, muli, alam namin ang halaga ng k (na kung saan ay 12) nang hindi kinakailangang gumawa ng anumang matematika.

Hakbang 5. Iguhit ang iyong rurok

Ang vertex ng iyong parabola ay ang point (h, k) - h ay kumakatawan sa x-coordinate, habang ang k ay kumakatawan sa y-coordinate. Ang vertex ay ang midpoint ng iyong parabola - alinman sa ilalim ng U o sa tuktok ng inverted U. Ang pag-alam sa mga vertex ay isang mahalagang bahagi ng pagguhit ng isang tumpak na parabola - madalas, sa gawain sa paaralan, ang pagtukoy ng vertex ay ang bahagi na hahanapin sa isang katanungan.

• Sa aming pangkalahatang halimbawa ng form, ang aming rurok ay (-4, 7). Sa gayon, ang aming parabola ay magtatapos ng 4 na hakbang sa kaliwa mula 0 at 7 na hakbang sa itaas (0, 0). Dapat nating ilarawan ang puntong ito sa aming grap, tinitiyak na markahan ang mga coordinate.
• Sa aming halimbawa ng form na vertex, ang aming vertex ay (5, 12). Kailangan nating gumuhit ng isang puntong 5 mga hakbang sa kanan at 12 mga hakbang sa itaas (0, 0).

Hakbang 6. Iguhit ang axis ng parabola (opsyonal)

Ang axis ng mahusay na proporsyon ng isang parabola ay isang linya na dumadaan sa gitna nito, na hinahati ito eksakto sa gitna. Sa axis na ito, ang kaliwang bahagi ng parabola ay makikita ang kanang bahagi. Para sa mga quadratic equation sa form ax² + bx + c o a (x - h)² + k, ang axis ng mahusay na proporsyon ay ang linya na parallel sa y-axis (sa madaling salita, eksaktong patayo) at dumadaan sa vertex.

Sa kaso ng aming pangkalahatang halimbawa ng form, ang axis ay ang linya na parallel sa y-axis at dumadaan sa point (-4, 7). Kahit na hindi ito bahagi ng parabola, ang manipis na pagmamarka ng linyang ito sa iyong grap sa kalaunan ay makakatulong sa iyo na makita ang simetriko na hugis ng kurba ng parabola

Hakbang 7. Hanapin ang direksyon ng pagbubukas ng parabola

Matapos malaman ang rurok at axis ng parabola, susunod na kailangan nating malaman kung ang parabola ay bubukas o pababa. Sa kabutihang palad, madali ito. Kung ang halaga ng a ay positibo, ang parabola ay magbubukas paitaas, samantalang kung ang halaga ng a ay negatibo, ang parabola ay magbubukas pababa (ibig sabihin ang parabola ay ibabaligtad).

• Para sa aming pangkalahatang halimbawa ng form (f (x) = 2x² + 16x + 39), alam namin na mayroon kaming isang parabola na magbubukas dahil, sa aming equation, isang = 2 (positibo).
• Para sa aming halimbawa ng form ng vertex (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), alam namin na mayroon din kaming isang parabola na magbubukas dahil ang isang = 4 (positibo).

Hakbang 8. Kung kinakailangan, hanapin at iguhit ang x-intercept

Kadalasan, sa gawain sa paaralan, hihilingin sa iyo na hanapin ang x-intercept sa parabola (na isa o dalawang puntos kung saan natutugunan ng parabola ang x-axis). Kahit na hindi mo makita ang isa, ang dalawang puntong ito ay napakahalaga para sa pagguhit ng isang tumpak na parabola. Gayunpaman, hindi lahat ng parabolas ay may x-intercept. Kung ang iyong parabola ay may isang vertex na bubukas at ang vertex nito ay nasa itaas ng x-axis o kung magbubukas ito pababa at ang vertex nito ay nasa ibaba ng x-axis, ang parabola ay walang x-intercept. Kung hindi man, malutas ang iyong x-intercept sa isa sa mga sumusunod na paraan:

• Gumawa lamang ng f (x) = 0 at lutasin ang equation. Ang pamamaraang ito ay maaaring magamit para sa simpleng mga quadratic equation, lalo na sa pinakamataas na form, ngunit magiging napakahirap para sa mga kumplikadong equation. Tingnan sa ibaba para sa isang halimbawa

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Root (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 at 13 ay ang x-intercept sa parabola.

• I-factor ang iyong equation. Ang ilang mga equation sa form ax² Ang + bx + c ay madaling mai-factored sa form (dx + e) (fx + g), kung saan dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, at e × g = c. Sa kasong ito, ang iyong x-intercepts ay x halaga na gagawa ng anumang term sa panaklong = 0. Halimbawa:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Sa kasong ito, ang iyong nag-iisang x-intercept ay -1 dahil ang paggawa ng x pantay na -1 ay gagawing anumang kataga ng kadahilanan sa mga panaklong na pantay na 0.

• Gamitin ang quadratic formula. Kung hindi mo madaling malulutas ang iyong x-intercept o salik ang iyong equation, gumamit ng isang espesyal na equation na tinatawag na isang quadratic formula na nilikha para sa hangaring ito. Kung hindi pa ito nalulutas, i-convert ang iyong equation sa form ax² + bx + c, pagkatapos ay ipasok ang a, b, at c sa pormula x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac)) / 2a. Tandaan na ang pamamaraang ito ay madalas na nagbibigay sa iyo ng dalawang mga sagot para sa halaga ng x, na kung saan ay OK - nangangahulugan lamang ito na ang iyong parabola ay may dalawang x-intercepts. Tingnan sa ibaba para sa isang halimbawa:

  • -5x² Ang + 1x + 10 ay inilalagay sa quadratic formula na tulad nito:
  • x = (-1 +/- Root (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Root (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- Root (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14, 18) / - 10
  • x = (13, 18 / -10) at (-15, 18 / -10). Ang x-intercept sa parabola ay x = - 1, 318 at 1, 518
  • Ang aming nakaraang halimbawa ng pangkalahatang form, 2x² Ang + 16x + 39 ay inilalagay sa quadratic formula tulad ng sumusunod:
  • x = (-16 +/- Root (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Root (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- Root (-56) / - 10
  • Dahil imposibleng makahanap ng parisukat na ugat ng isang negatibong numero, alam namin na ang parabola na ito walang x-intercept.

Hakbang 9. Kung kinakailangan, hanapin at iguhit ang y-intercept

Habang madalas na hindi kinakailangan upang hanapin ang y-intercept sa mga equation (ang punto kung saan dumadaan ang parabola sa y-axis), maaari mo itong makita sa kalaunan, lalo na kung nasa paaralan ka. Ang proseso ay medyo simple - gumawa lamang ng x = 0, pagkatapos ay lutasin ang iyong equation para sa f (x) o y, na nagbibigay ng halaga ng y kung saan dumaan ang iyong parabola sa y-axis. Hindi tulad ng x-intercept, ang isang regular na parabola ay maaaring magkaroon lamang ng isang y-intercept. Tandaan - para sa mga equation ng pangkalahatang form, ang y-intercept ay nasa y = c.

• Halimbawa, alam namin na ang aming quadratic equation ay 2x² Ang + 16x + 39 ay may y-intercept sa y = 39, ngunit maaari mo ring makita sa sumusunod na paraan:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Ang y-intercept ng parabola ay nasa y = 39.

    Tulad ng nabanggit sa itaas, ang y-intercept ay nasa y = c.

• Ang form ng aming vertex equation ay 4 (x - 5)² Ang + 12 ay may y-intercept na maaaring matagpuan sa sumusunod na paraan:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Ang y-intercept ng parabola ay nasa y = 112.

Hakbang 10. Kung kinakailangan, gumuhit ng mga karagdagang puntos, pagkatapos ay gumuhit ng isang graph

Ngayon ay mayroon kang vertex, direksyon, x-intercept, at posibleng, y-intercept sa iyong equation. Sa yugtong ito, maaari mong subukang iguhit ang iyong parabola gamit ang mga puntos na mayroon ka bilang isang gabay, o maghanap ng iba pang mga puntos upang punan ang iyong parabola upang ang kurso na iguhit mo ay mas tumpak. Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay simpleng ipasok ang ilang mga x-halaga sa anumang bahagi ng iyong vertex, pagkatapos ay balangkasin ang mga puntong ito gamit ang mga halagang nakuha mo. Kadalasan, hinihiling sa iyo ng mga guro na maghanap ng maraming mga puntos bago iguhit ang iyong parabola.

• Suriin natin ang equation x² + 2x + 1. Alam na natin na ang x-intercept ay nasa x = -1 lamang. Dahil ang kurba ay hinahawakan lamang ang x-intercept sa isang punto, maaari nating tapusin na ang vertex ay ang x-intercept nito, na nangangahulugang ang vertex ay (-1, 0). Kami ay may isang punto lamang para sa parabola na ito - hindi sapat upang gumuhit ng magandang parabola. Maghanap tayo para sa ilang iba pang mga puntos upang matiyak na gumuhit kami ng isang masusing graph.

  • Hanapin natin ang mga halagang y para sa mga sumusunod na x halaga: 0, 1, -2, at -3.
  • Para sa 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Ang aming punto ay (0, 1).

  • Para sa 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Ang aming punto ay (1, 4).

  • Para sa -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Ang aming punto ay (-2, 1).

  • Para sa -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Ang aming punto ay (-3, 4).

  • Iguhit ang mga puntong ito sa grapiko at iguhit ang iyong hugis na U curve. Tandaan na ang parabola ay perpektong simetriko - kapag ang iyong mga puntos sa isang bahagi ng parabola ay mga integer, maaari mong mabawasan ang gawain ng simpleng pagsasalamin ng isang naibigay na punto sa axis ng parabola ng mahusay na proporsyon upang mahanap ang parehong punto sa kabilang panig ng parabola.

Mga Tip

• Mga bilog na numero o gumamit ng mga praksyon ayon sa kahilingan ng iyong guro sa algebra. Makakatulong ito sa iyo na mas mahusay na ma-graph ang quadratic equation.
• Tandaan na sa f (x) = ax² + bx + c, kung ang b o c ay katumbas ng zero, ang mga numerong ito ay mawawala. Halimbawa, 12x² + 0x + 6 ay nagiging 12x² + 6 dahil 0x ay 0.