Maaaring magamit ang mga derivatives upang makuha ang mga kapaki-pakinabang na katangian mula sa isang grap, tulad ng maximum, minimum, rurok, labangan, at mga halaga ng slope. Maaari mo ring gamitin ito upang mag-grap ng mga kumplikadong equation nang walang graphing calculator! Sa kasamaang palad, ang pagtatrabaho sa mga derivatives ay madalas na nakakapagod, ngunit ang artikulong ito ay makakatulong sa iyo sa ilang mga tip at trick.
Hakbang
Hakbang 1. Maunawaan ang nakuha na notasyon
Ang mga sumusunod na dalawang notasyon ay ang pinaka-karaniwang ginagamit, bagaman maraming iba pa ang matatagpuan dito sa Wikipedia.
- Leibniz Notation Ang notasyong ito ay ang pinakakaraniwang ginagamit na notasyon kapag ang equation ay nagsasangkot ng y at x. Ang literal na dy / dx ay nangangahulugang hango ng y na may paggalang sa x. Maaaring maging kapaki-pakinabang na isipin ito bilang y / Δx para sa ibang-iba ng mga halaga ng x at y. Ang paliwanag na ito ay humahantong sa kahulugan ng hangganan ng derivative: lim_l> 0 (f (x + h) -f (x)) / h. Kapag ginagamit ang notasyong ito para sa pangalawang hango, dapat mong isulat: d2y / dx2.
- Lagrange Notation Ang hango ng pagpapaandar f ay nakasulat din bilang f '(x). Ang notasyong ito ay nagbabasa ng f accent x. Ang notasyong ito ay mas maikli kaysa sa notasyon ni Leibniz, at kapaki-pakinabang kapag tinitingnan ang mga derivatives bilang pagpapaandar. Upang bumuo ng isang mas malaking degree ng derivative, idagdag lamang ang 'to f, kaya ang pangalawang derivative ay magiging f' '(x).
Hakbang 2. Maunawaan ang kahulugan ng hinalang at ang mga dahilan ng pagbaba
Una, upang hanapin ang slope ng isang linear graph, dalawang puntos sa linya ang kinuha, at ang kanilang mga coordinate ay ipinasok sa equation (y2 - y1) / (x2 - x1). Gayunpaman, maaari lamang itong magamit para sa mga linear na grap. Para sa mga quadratic equation at mas mataas, ang linya ay magiging isang curve, kaya ang paghahanap ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang puntos ay hindi masyadong tumpak. Upang hanapin ang slope ng tangent sa isang curve graph, dalawang puntos ang kukuha, at ilagay sa pangkalahatang equation upang hanapin ang slope ng curve graph: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Ang Dx ay nagsasaad ng delta x, na kung saan ay ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang x coordinate sa dalawang puntos ng grap. Tandaan na ang equation na ito ay kapareho ng (y2 - y1) / (x2 - x1), sa ibang form lang. Dahil alam na ang mga resulta ay magiging hindi tama, isang hindi direktang diskarte ang inilapat. Upang hanapin ang slope ng tangent sa (x, f (x)), ang dx ay dapat na malapit sa 0, upang ang dalawang iginuhit na puntos ay sumanib sa isang punto. Gayunpaman, hindi mo maaaring hatiin ang 0, kaya sa sandaling naipasok mo ang mga halagang dalawang puntos, kakailanganin mong gumamit ng factoring at iba pang mga pamamaraan upang alisin ang dx mula sa ilalim ng equation. Kapag nagawa mo na iyon, gumawa ng dx 0 at tapos ka na. Ito ang slope ng tangent sa (x, f (x)). Ang hango ng isang equation ay ang pangkalahatang equation para sa paghahanap ng slope ng anumang tangent sa isang grap. Maaaring mukhang kumplikado ito, ngunit may ilang mga halimbawa sa ibaba, na makakatulong ipaliwanag kung paano makuha ang hinalaw.
Paraan 1 ng 4: Malaswang Derivatives
Hakbang 1. Gumamit ng isang malinaw na hango kung ang iyong equation ay mayroon nang y sa isang panig
Hakbang 2. I-plug ang equation sa equation [f (x + dx) - f (x)] / dx
Halimbawa, kung ang equation ay y = x2, ang derivative ay magiging [(x + dx)2 - x2] / dx
Hakbang 3. Palawakin at alisin ang dx upang mabuo ang equation [dx (2x + dx)] / dx
Ngayon, maaari kang magtapon ng dalawang dx sa itaas at ibaba. Ang resulta ay 2x + dx, at habang dx papalapit sa zero, ang hinalang ay 2x. Nangangahulugan ito na ang slope ng anumang tangent ng graph y = x2 ay 2x. Ipasok lamang ang x-halaga para sa puntong nais mong hanapin ang slope.
Hakbang 4. Alamin ang mga pattern para sa pagkuha ng mga katulad na equation
Narito ang ilang mga halimbawa.
- Ang anumang exponent ay ang lakas ng beses sa halaga, naitaas sa lakas na mas mababa sa 1. Halimbawa, ang hinalang x5 ay 5x4, at ang hango ng x3, 5 iis3, 5x2, 5. Kung mayroon nang isang numero sa harap ng x, i-multiply lamang ito sa pamamagitan ng lakas. Halimbawa ang hinalang ng 3x4 ay 12x3.
- Ang hango ng anumang pare-pareho ay zero. Kaya, ang hinalang 8 ay 0.
- Ang hango ng kabuuan ay ang kabuuan ng kani-kanilang mga derivatives. Halimbawa, ang hinalang x3 + 3x2 ay 3x2 + 6x.
- Ang derivative ng produkto ay ang unang factor factor na pinagmulang ng pangalawang factor plus ang pangalawang factor na beses ng derivative ng unang factor. Halimbawa, ang hinalang x3Ang (2x + 1) ay x3(2) + (2x + 1) 3x2, na katumbas ng 8x3 + 3x2.
- Ang hinalang tagubilin (sabihin, f / g) ay [g (hinalang p) - f (hinalang g)] / g2. Halimbawa, ang hinalang ng (x2 + 2x - 21) / (x - 3) ay (x2 - 6x + 15) / (x - 3)2.
Paraan 2 ng 4: Implicit Derivatives
Hakbang 1. Gumamit ng mga implicit derivatives kung ang iyong equation ay hindi pa nakasulat sa y sa isang panig
Sa katunayan, kung nagsulat ka ng isang panig, ang pagkalkula ng dy / dx ay nakakapagod. Narito ang isang halimbawa kung paano mo malulutas ang ganitong uri ng equation.
Hakbang 2. Sa halimbawang ito, x2y + 2y3 = 3x + 2y, palitan ang y ng f (x), upang maalala mo na ang y ay talagang isang pagpapaandar.
Ang equation pagkatapos ay nagiging x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Hakbang 3. Upang hanapin ang hinalaw ng equation na ito, kunin ang magkabilang panig ng equation na may paggalang sa x
Ang equation pagkatapos ay nagiging x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Hakbang 4. Palitan muli ang f (x) ng y
Mag-ingat na huwag palitan ang f '(x), na naiiba sa f (x).
Hakbang 5. Hanapin ang f '(x)
Ang sagot para sa halimbawang ito ay nagiging (3 - 2xy) / (x2 + 6y2 - 2).
Paraan 3 ng 4: Mga Derivative na Mas Mataas na Order
Hakbang 1. Ang pagkuha ng isang pagpapaandar ng mas mataas na pagkakasunud-sunod ay nangangahulugang nakukuha mo ang hinalaw (upang mag-order 2)
Halimbawa, kung hinihiling ka ng problema na kumuha ng pangatlong order, pagkatapos ay kunin mo lang ang hinalang hinalang ng hango. Para sa ilang mga equation, ang mas mataas na order na derivative ay 0.
Paraan 4 ng 4: Rule Rule
Hakbang 1. Kung ang y ay isang kaugalian na pag-andar ng z, at ang z ay isang kaugalian na pag-andar ng x, ang y ay isang pinagsamang pagpapaandar ng x, at ang hinalang y na hinggil sa x (dy / dx) ay (dy / du) * (du / dx)
Ang panuntunan sa kadena ay maaari ding isang kombinasyon ng mga equation ng kuryente, tulad nito: (2x4 - x)3. Upang hanapin ang derivative, isipin lamang ito tulad ng panuntunan sa pagpaparami. I-multiply ang equation ng lakas at bawasan ng 1 sa lakas. Pagkatapos, i-multiply ang equation ng derivative ng equation sa mga panaklong na nagpapataas ng lakas (sa kasong ito, 2x ^ 4 - x). Ang sagot sa katanungang ito ay 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Mga Tip
- Kailan man makakita ka ng isang mahirap na problema upang malutas, huwag magalala. Subukan lamang na hatiin ito sa maraming mga mas maliit na bahagi hangga't maaari sa pamamagitan ng paglalapat ng mga patakaran ng pagpaparami, panukat, atbp. Pagkatapos, babaan ang bawat bahagi.
- Magsanay sa panuntunan sa pagpaparami, panuntunang may panukat, panuntunang kadena, at lalo na, mga implicit na derivatives, dahil ang mga patakarang ito ay mas mahirap sa calculus.
- Maunawaan nang mabuti ang iyong calculator; subukan ang iba't ibang mga pag-andar sa iyong calculator upang malaman kung paano gamitin ang mga ito. Napaka kapaki-pakinabang upang malaman kung paano gamitin ang mga tangente at mga derivative function sa iyong calculator kung magagamit ang mga ito.
- Tandaan ang pangunahing trigonometric derivatives at kung paano ito gamitin.
