Ang isang polynomial ay naglalaman ng isang variable (x) na may isang kapangyarihan, na kilala bilang isang degree, at maraming mga term at / o mga Constant. Upang i-factor ang isang polynomial ay nangangahulugang basagin ang equation sa mas simpleng mga equation na maaaring paramihin. Ang kasanayang ito ay nasa Algebra 1 at pataas, at maaaring mahirap maunawaan kung ang iyong mga kasanayan sa matematika ay wala sa antas na ito.
Hakbang
Magsimula
Hakbang 1. I-set up ang iyong equation
Ang karaniwang format para sa isang quadratic equation ay:
palakol2 + bx + c = 0
Magsimula sa pamamagitan ng pag-order ng mga termino sa iyong equation mula sa pinakamataas hanggang sa pinakamababang lakas, tulad ng sa karaniwang format na ito. Halimbawa:
6 + 6x2 + 13x = 0
Susubukan naming ayusin muli ang equation na ito upang mas madaling magtrabaho kasama ang simpleng paglipat ng mga term:
6x2 + 13x + 6 = 0
Hakbang 2. Hanapin ang form factor gamit ang isa sa mga sumusunod na pamamaraan
Ang pag-factor ng polynomial ay nagreresulta sa dalawang mas simpleng mga equation na maaaring paramihin upang makabuo ng orihinal na polynomial:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Sa halimbawang ito, (2x + 3) at (3x + 2) ang mga kadahilanan ng orihinal na equation, 6x2 + 13x + 6.
Hakbang 3. Suriin ang iyong trabaho
I-multiply ang mga salik na mayroon ka. Pagkatapos, pagsamahin tulad ng mga term at tapos ka na. Magsimula sa:
(2x + 3) (3x + 2)
Subukan natin, paramihin ang mga term na gumagamit ng PLDT (una - sa labas - sa loob - huling), na nagreresulta sa:
6x2 + 4x + 9x + 6
Mula dito, maaari kaming magdagdag ng 4x at 9x dahil ang mga ito ay tulad ng mga term. Alam namin na ang aming mga kadahilanan ay tama dahil nakukuha namin ang aming orihinal na equation:
6x2 + 13x + 6
Paraan 1 ng 6: Pagsubok at Error
Kung mayroon kang isang medyo simpleng polynomial, maaari mong matagpuan ang mga kadahilanan sa iyong sarili sa pamamagitan lamang ng pagtingin sa kanila. Halimbawa, pagkatapos ng pagsasanay, maraming mga matematiko ang maaaring malaman na ang equation na 4x2 Ang + 4x + 1 ay may kadahilanan ng (2x + 1) at (2x + 1) sa pamamagitan lamang ng pagtingin dito nang madalas. (Ito syempre ay hindi magiging madali para sa mas kumplikadong mga polynomial). Para sa halimbawang ito, gumamit tayo ng isang hindi gaanong ginagamit na equation:
3x2 + 2x - 8
Hakbang 1. Sumulat ng isang listahan ng mga kadahilanan ng term a at term c
Gamit ang format ng equation equation2 + bx + c = 0, tukuyin ang mga term na a at c at isulat ang mga salik na mayroon ang parehong mga term. Para sa 3x2 + 2x - 8, ibig sabihin:
a = 3 at mayroong isang hanay ng mga kadahilanan: 1 * 3
c = -8 at mayroong apat na hanay ng mga kadahilanan: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, at -1 * 8.
Hakbang 2. Isulat ang dalawang hanay ng mga braket na may mga blangko na puwang
Punan mo ang mga patlang na nilikha mo ng mga pare-pareho para sa bawat equation:
(x) (x)
Hakbang 3. Punan ang mga patlang sa harap ng x ng mga posibleng pares ng mga kadahilanan para sa halaga ng a
Para sa term na a sa aming halimbawa, 3x2, may isang posibilidad lamang para sa aming halimbawa:
(3x) (1x)
Hakbang 4. Punan ang dalawang blangko pagkatapos x ng mga pares ng mga kadahilanan para sa pare-pareho
Ipagpalagay na pinili natin ang 8 at 1. Isulat sa kanila:
(3x
Hakbang 8.)(
Hakbang 1
Hakbang 5. Tukuyin ang pag-sign (plus o minus) sa pagitan ng variable x at ng numero
Nakasalalay sa mga palatandaan sa orihinal na equation, maaaring posible na maghanap para sa mga palatandaan para sa mga pare-pareho. Ipagpalagay na tawagan natin ang dalawang pare-pareho na h at k para sa aming dalawang kadahilanan:
Kung palakol2 + bx + c pagkatapos (x + h) (x + k)
Kung palakol2 - bx - c o palakol2 + bx - c pagkatapos (x - h) (x + k)
Kung palakol2 - bx + c pagkatapos (x - h) (x - k)
Para sa aming halimbawa, 3x2 + 2x - 8, ang mga palatandaan ay: (x - h) (x + k), na nagbibigay sa amin ng dalawang kadahilanan:
(3x + 8) at (x - 1)
Hakbang 6. Subukan ang iyong mga pagpipilian gamit ang first-out-in-last multiplication (PLDT)
Ang unang mabilis na pagsubok ay upang makita kung ang gitnang termino ay may hindi bababa sa wastong halaga. Kung hindi, maaaring napili mo ang maling mga kadahilanan c. Subukan natin ang ating sagot:
(3x + 8) (x - 1)
Sa pamamagitan ng pagpaparami, nakukuha natin ang:
3x2 - 3x + 8x - 8
Pinapasimple ang equation na ito sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga katulad na term (-3x) at (8x), nakukuha namin:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Ngayon alam natin na dapat na maling paggamit ang ginamit natin:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Hakbang 7. Baguhin ang iyong pagpipilian kung kinakailangan
Sa aming halimbawa, subukan natin ang 2 at 4 sa halip na 1 at 8:
(3x + 2) (x - 4)
Ngayon ang aming termino ay c -8, ngunit ang aming labas / panloob na produkto (3x * -4) at (2 * x) ay -12x at 2x, na pinagsama ay hindi makagawa ng tamang term ng b + 2x.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Hakbang 8. Baligtarin ang order kung kinakailangan
Subukan nating magpalit ng 2 at 4:
(3x + 4) (x - 2)
Ngayon, ang aming c term (4 * 2 = 8) ay tama, ngunit ang panlabas / panloob na produkto ay -6x at 4x. Kung pagsamahin natin ang mga ito:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Medyo malapit kami sa 2x na hinahanap namin, ngunit ang pag-sign ay mali.
Hakbang 9. I-double check ang iyong mga tag kung kinakailangan
Gagamitin namin ang parehong pagkakasunud-sunod, ngunit palitan ang mga equation na mayroong minus sign:
(3x - 4) (x + 2)
Ngayon ang term na c ay walang problema, at ang kasalukuyang panlabas / panloob na produkto ay (6x) at (-4x). Dahil:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Ngayon maaari naming gamitin ang positibong 2x mula sa orihinal na problema. Dapat itong ang mga tamang kadahilanan.
Paraan 2 ng 6: agnas
Ang pamamaraan na ito ay makikilala ang lahat ng mga posibleng kadahilanan ng mga term na a at c at gamitin ang mga ito upang mahanap ang tamang mga kadahilanan. Kung ang mga numero ay masyadong malaki o paghula ay tila matagal, gamitin ang pamamaraang ito. Gumamit tayo ng isang halimbawa:
6x2 + 13x + 6
Hakbang 1. I-multiply ang term ng a sa term na c
Sa halimbawang ito, ang a ay 6 at ang c ay 6 din.
6 * 6 = 36
Hakbang 2. Kunin ang term na b sa pamamagitan ng pag-factoring at pagsubok
Naghahanap kami ng dalawang numero na mga kadahilanan ng produkto a * c na aming nakilala at nagdagdag din sa term na b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Hakbang 3. Palitan ang dalawang numero na nakukuha mo sa iyong equation bilang resulta ng pagdaragdag ng term na b
Gumamit tayo ng k at h upang kumatawan sa dalawang numero na mayroon tayo, 4 at 9:
palakol2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Hakbang 4. Isaalang-alang ang polynomial sa pamamagitan ng pagpapangkat
Ayusin ang mga equation upang maaari mong gawin ang pinakadakilang kadahilanan ng parehong una at pangalawang mga termino. Ang pangkat ng mga kadahilanan ay dapat na pareho. Idagdag ang Dakilang Karaniwang Kadahilanan at ilagay ito sa panaklong sa tabi ng pangkat ng kadahilanan; ang resulta ay ang iyong dalawang mga kadahilanan:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Paraan 3 ng 6: Triple Play
Katulad ng pamamaraan ng agnas, sinusuri ng pamamaraan ng triple play ang mga posibleng kadahilanan ng pag-multiply ng mga term na a at c at paggamit ng halaga ng b. Subukang gamitin ang halimbawang equation na ito:
8x2 + 10x + 2
Hakbang 1. I-multiply ang term ng a sa term na c
Tulad ng pamamaraang pag-parse, makakatulong ito sa amin na makilala ang mga kandidato para sa term b. Sa halimbawang ito, ang a ay 8 at ang c ay 2.
8 * 2 = 16
Hakbang 2. Maghanap ng dalawang numero kung saan, kapag pinarami ng mga numero, gawin ang numerong ito na may kabuuang kabuuan na katumbas ng term na b
Ang hakbang na ito ay kapareho ng pag-parse - susubukan at itatapon namin ang mga kandidato para sa pare-pareho. Ang produkto ng mga katagang a at c ay 16, at ang term na c ay 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Hakbang 3. Dalhin ang dalawang numero na ito at subukan ang mga ito sa pamamagitan ng pag-plug sa kanila sa triple formula na pag-play
Dalhin ang aming dalawang numero mula sa nakaraang hakbang - tawagan natin sila h at k - at isaksak ang mga ito sa equation:
((palakol + h) (palakol + k)) / a
Kukunin namin:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Hakbang 4. Pansinin kung alinman sa dalawang mga termino sa numerator ay mahahati ng a
Sa halimbawang ito, nakita namin kung ang (8x + 8) o (8x + 2) ay nahahati sa 8. (8x + 8) ay nahahati sa 8, kaya't hahatiin natin ang term na ito sa pamamagitan ng a at iiwan ang iba pang mga kadahilanan.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Ang term na nasa panaklong dito ay kung ano ang natitira pagkatapos naming hatiin sa term na a.
Hakbang 5. Dalhin ang pinakadakilang kadahilanan (GCF) ng isa o parehong mga termino, kung mayroon man
Sa halimbawang ito, ang pangalawang term, ay mayroong isang GCF na 2, dahil 8x + 2 = 2 (4x + 1). Pagsamahin ang resulta na ito sa katagang nakuha mo mula sa nakaraang hakbang. Ito ang mga kadahilanan sa iyong equation.
2 (x + 1) (4x + 1)
Paraan 4 ng 6: Pagkakaiba ng Mga Roots ng Square
Ang ilang mga coefficients sa polynomial ay maaaring 'mga parisukat', o ang produkto ng dalawang numero. Ang pagkilala sa mga parisukat na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang i-factor ang maraming mga polynomial nang mas mabilis. Subukan ang equation na ito:
27x2 - 12 = 0
Hakbang 1. Ilabas ang pinakadakilang karaniwang kadahilanan kung maaari
Sa kasong ito, makikita natin na ang 27 at 12 ay mahahati sa 3, kaya nakakakuha tayo ng:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Hakbang 2. Kilalanin kung ang mga coefficients ng iyong equation ay parisukat na numero
Upang magamit ang pamamaraang ito, dapat mong makuha ang parisukat na ugat ng parehong mga term. (Tandaan na hindi namin papansinin ang negatibong pag-sign - dahil ang mga bilang na ito ay parisukat maaari silang maging produkto ng dalawang positibo o negatibong mga numero)
9x2 = 3x * 3x at 4 = 2 * 2
Hakbang 3. Gamit ang parisukat na ugat na nakuha mo, isulat ang mga kadahilanan
Kukunin namin ang mga halaga ng a at c mula sa aming hakbang sa itaas - a = 9 at c = 4, pagkatapos ay hanapin ang square root - a = 3 at c = 2. Ang resulta ay ang coefficient ng equation equation:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Paraan 5 ng 6: Quadratic Formula
Kung nabigo ang lahat at ang equation ay hindi maaaring maiakma nang buo, gamitin ang quadratic formula. Subukan ang halimbawang ito:
x2 + 4x + 1 = 0
Hakbang 1. Ipasok ang kinakailangang mga halaga sa quadratic formula:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Nakukuha namin ang equation:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Hakbang 2. Hanapin ang halaga ng x
Makakakuha ka ng dalawang halaga. Tulad ng ipinakita sa itaas, nakakakuha kami ng dalawang sagot:
x = -2 + (3) o x = -2 - (3)
Hakbang 3. Gamitin ang iyong x-halaga upang makita ang mga kadahilanan
I-plug ang mga halagang x nakuha mo sa dalawang mga equation ng polynomial bilang pare-pareho. Ang resulta ay ang iyong mga kadahilanan. Kung tatawagin namin ang aming mga sagot na h at k, isusulat namin ang dalawang mga kadahilanan tulad ng sumusunod:
(x - h) (x - k)
Sa halimbawang ito, ang aming pangwakas na sagot ay:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Paraan 6 ng 6: Paggamit ng Calculator
Kung pinapayagan kang gumamit ng isang calculator, ginagawang mas madali ng isang calculator ng graphing ang proseso ng pag-iingat ng mga bagay, lalo na para sa mga pamantayan sa pamantayan. Ang mga tagubiling ito ay para sa calculator ng graphing TI. Gumagamit kami ng isang halimbawa ng equation:
y = x2 x 2
Hakbang 1. Ipasok ang iyong equation sa calculator
Gagamitin mo ang factoring ng equation, na nakasulat sa [Y =] sa screen.
Hakbang 2. I-grap ang iyong equation gamit ang iyong calculator
Kapag naipasok mo na ang iyong equation, pindutin ang [GRAPH] - makikita mo ang isang makinis na curve na kumakatawan sa iyong equation (at ang hugis ay isang curve dahil gumagamit kami ng mga polynomial).
Hakbang 3. Hanapin ang lokasyon kung saan nag-intersect ang curve sa x-axis
Dahil ang mga equation ng polynomial ay karaniwang nakasulat bilang palakol2 + bx + c = 0, ang intersection na ito ay ang pangalawang halaga ng x na nagiging sanhi ng zero sa equation:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Kung hindi mo matukoy kung saan ang grap ay nag-intersect sa x-axis sa pamamagitan ng pagtingin dito, pindutin ang [2nd] at pagkatapos ay [TRACE]. Pindutin ang [2] o piliin ang zero. Ilipat ang cursor sa kaliwa ng intersection at pindutin ang [ENTER]. Ilipat ang cursor sa kanan ng intersection at pindutin ang [ENTER]. Ilipat ang cursor nang malapit sa intersection hangga't maaari at pindutin ang [ENTER]. Mahahanap ng calculator ang halaga ng x. Gawin din ito para sa iba pang mga intersection
Hakbang 4. I-plug ang x halaga na nakuha mula sa nakaraang hakbang sa dalawang equation ng factorial
Kung pinangalanan namin ang pareho sa aming x halagang h at k, ang mga equation na gagamitin namin ay:
(x - h) (x - k) = 0
Kaya, ang aming dalawang kadahilanan ay:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Mga Tip
- Kung mayroon kang isang calculator ng TI-84 (grap), mayroong isang programa na tinatawag na SOLVER na malulutas ang iyong mga quadratic equation. Malulutas ng program na ito ang mga polynomial ng anumang degree.
- Kung ang isang term ay hindi nakasulat, ang coefficient ay 0. Kapaki-pakinabang na muling isulat ang equation kung ito ang kaso, halimbawa: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
- Kung itinuro mo ang iyong polynomial gamit ang isang quadratic formula at nakuha ang sagot sa mga tuntunin ng mga ugat, baka gusto mong i-convert ang halaga ng x sa isang maliit na bahagi upang suriin.
- Kung ang isang term ay walang nakasulat na koepisyent, ang koepisyent ay 1, halimbawa: x2 = 1x2.
- Matapos ang sapat na pagsasanay, sa paglaon ay makakaya mong salik ang mga polynomial sa iyong ulo. Hanggang sa magawa mo ito, siguraduhing laging isulat ang kung paano.
