Sa mga araw bago naimbento ang mga calculator, ang mga mag-aaral at propesor ay kailangang kalkulahin nang manu-mano ang mga square root. Maraming magkakaibang paraan ang nabuo upang mapagtagumpayan ang mahirap na prosesong ito. Ang ilang mga paraan ay nagbibigay ng isang magaspang na pagtantya at ang iba ay nagbibigay ng isang eksaktong halaga. Upang malaman kung paano makahanap ng square root ng isang numero gamit ang simpleng operasyon lamang, tingnan ang Hakbang 1 sa ibaba upang makapagsimula.
Hakbang
Paraan 1 ng 2: Paggamit ng Punong Factorization
Hakbang 1. Hatiin ang iyong numero sa perpektong mga kadahilanan ng parisukat
Ang pamamaraang ito ay gumagamit ng mga kadahilanan ng isang numero upang mahanap ang square root ng numero (depende sa numero, ang sagot ay maaaring isang eksaktong numero o isang malapit na approximation). Ang mga kadahilanan ng isang numero ay isang hanay ng iba pang mga numero kung saan, kapag pinarami, ay nabubuo ang numerong iyon. Halimbawa, maaari mong sabihin na ang mga kadahilanan ng 8 ay 2 at 4 dahil 2 × 4 = 8. Samantala, ang mga perpektong parisukat ay buong numero na produkto ng iba pang mga buong numero. Halimbawa, 25, 36, at 49 ay perpektong mga parisukat dahil sila ay 5. ayon sa pagkakabanggit2, 62, at 72. Tulad ng nahulaan mo, ang mga perpektong parisukat na kadahilanan ay mga kadahilanan na perpekto din sa mga parisukat. Upang simulang hanapin ang square root sa pamamagitan ng prime factorization, subukan muna na gawing simple ang iyong numero sa perpektong mga square factor.
- Gumamit tayo ng isang halimbawa. Nais naming hanapin ang parisukat na ugat ng 400 nang manu-mano. Upang magsimula, hatiin namin ang numero sa perpektong mga kadahilanan na parisukat. Dahil ang 400 ay isang maramihang 100, alam namin na ang 400 ay mahahati ng 25 - isang perpektong parisukat. Sa isang mabilis na paghati ng mga anino, nalaman namin na 400 na hinati ng 25 ay katumbas ng 16. Nagkataon, ang 16 ay perpektong parisukat din. Kaya, ang perpektong parisukat na kadahilanan na 400 ay 25 at 16 dahil 25 × 16 = 400.
- Maaari naming isulat ito bilang: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Hakbang 2. Hanapin ang parisukat na ugat ng iyong perpektong mga kadahilanan ng parisukat
Ang pag-aari ng multiplication ng square root na nagsasaad na para sa anumang numero a at b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Dahil sa pag-aari na ito, ngayon, mahahanap na namin ang square root ng aming perpektong mga kadahilanan ng parisukat at i-multiply ang mga ito upang makuha ang aming sagot.
-
Sa aming halimbawa, mahahanap namin ang mga square square na 25 at 16. Tingnan sa ibaba:
- Root (25 × 16)
- Root (25) × Root (16)
-
5 × 4 =
Hakbang 20.
Hakbang 3. Kung ang iyong numero ay hindi maitatakda nang perpekto, gawing simple ang iyong sagot sa pinakasimpleng form nito
Sa totoong buhay, madalas ang mga bilang na kailangan mo upang mahanap ang parisukat na ugat ng hindi kasiya-siyang buong numero na may halatang perpektong parisukat na kadahilanan tulad ng 400. Sa mga kasong ito, posible na hindi namin makita ang tamang sagot. Bilang isang buong numero. Gayunpaman, sa pamamagitan ng paghahanap ng maraming perpektong mga kadahilanan ng parisukat na maaari mong makita, mahahanap mo ang sagot sa anyo ng isang parisukat na ugat na mas maliit, mas simple, at mas madaling makalkula. Upang magawa ito, bawasan ang iyong numero sa isang kumbinasyon ng mga perpektong parisukat na kadahilanan at hindi perpektong mga kadahilanan ng parisukat, pagkatapos ay gawing simple.
-
Gamitin natin ang square root ng 147 bilang isang halimbawa. Ang 147 ay hindi isang produkto ng dalawang perpektong mga parisukat, kaya't hindi namin makuha ang eksaktong halaga ng integer tulad ng nasa itaas. Gayunpaman, ang 147 ay produkto ng isang perpektong parisukat at isa pang numero - 49 at 3. Maaari naming gamitin ang impormasyong ito upang isulat ang aming sagot sa pinakasimpleng form nito tulad ng sumusunod:
- Root (147)
- = Root (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × Root (3)
Hakbang 4. Kung kinakailangan, tantyahin
Sa iyong square root sa pinakasimpleng form nito, kadalasang medyo madali upang makakuha ng isang magaspang na pagtantya ng sagot sa bilang sa pamamagitan ng paghula sa halaga ng natitirang square root at pag-multiply nito. Ang isang paraan upang gabayan ang iyong hula ay upang maghanap ng mga perpektong parisukat na mas malaki sa at mas mababa sa bilang sa iyong square root. Mapapansin mo na ang decimal na halaga ng numero sa iyong square root ay nasa pagitan ng dalawang numero, upang mahulaan mo ang halaga sa pagitan ng dalawang numero.
-
Bumalik tayo sa ating halimbawa. dahil 22 = 4 at 12 = 1, alam natin na ang Root (3) ay nasa pagitan ng 1 at 2 - marahil ay malapit sa 2 kaysa sa 1. Tinantya namin ang 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Kung suriin natin ang aming sagot sa calculator, maaari nating makita na ang aming sagot ay malapit sa tunay na sagot na 12, 13.
Nalalapat din ito sa mas malaking bilang. Halimbawa, ang Root (35) ay maaaring tinatayang sa pagitan ng 5 at 6 (posibleng malapit sa 6). 52 = 25 at 62 = 36. 35 ay nasa pagitan ng 25 at 36, kaya ang parisukat na ugat ay dapat nasa pagitan ng 5 at 6. Dahil ang 35 ay isa lamang mas mababa sa 36, masasabi nating may kumpiyansa na ang square root ay bahagyang mas mababa sa 6. Ang pagsuri sa isang calculator ay bigyan mo kami ng sagot tungkol sa 5, 92 - tama kami.
Hakbang 5. Bilang kahalili, bawasan ang iyong numero sa hindi gaanong karaniwang mga kadahilanan bilang iyong unang hakbang
Ang paghahanap ng mga kadahilanan ng perpektong mga parisukat ay hindi kinakailangan kung madali mong matukoy ang pangunahing mga kadahilanan ng isang numero (mga kadahilanan na rin pangunahing mga numero). Isulat ang iyong numero sa mga tuntunin ng hindi gaanong karaniwang mga kadahilanan. Pagkatapos, hanapin ang mga pares ng mga pangunahing numero na tumutugma sa iyong mga kadahilanan. Kapag nakakita ka ng dalawang pangunahing kadahilanan na pareho, alisin ang dalawang numero na ito mula sa square root at ilagay ang isa sa mga numerong ito sa labas ng square root.
-
Halimbawa, hanapin ang parisukat na ugat ng 45 gamit ang pamamaraang ito. Alam namin na 45 × 5 at alam namin na sa ilalim ng 9 = 3 × 3. Sa gayon, maaari naming isulat ang aming square root sa mga tuntunin ng mga kadahilanan tulad nito: Sqrt (3 × 3 × 5). Alisin lamang ang parehong 3s at ilagay ang isa sa labas ng square root upang gawing simple ang iyong square root sa pinakasimpleng form nito: (3) Root (5).
Mula dito, madali kaming matantya.
-
Bilang isang huling halimbawa ng problema, subukang hanapin ang parisukat na ugat ng 88:
- Root (88)
- = Root (2 × 44)
- = Root (2 × 4 × 11)
- = Root (2 × 2 × 2 × 11). Mayroon kaming ilang 2 sa aming square root. Dahil ang 2 ay isang pangunahing numero, maaari naming alisin ang isang pares ng 2s at ilagay ang isa sa kanila sa labas ng square root.
-
= Ang aming square root sa pinakasimpleng form nito ay (2) Sqrt (2 × 11) o (2) Root (2) Root (11).
Mula dito, maaari nating tantyahin ang Sqrt (2) at Sqrt (11) at hanapin ang tinatayang sagot ayon sa gusto namin.
Paraan 2 ng 2: Manu-manong Paghahanap ng Square Root
Gamit ang Long Division Algorithm
Hakbang 1. Paghiwalayin ang mga digit ng iyong numero sa mga pares
Gumagamit ang pamamaraang ito ng isang proseso na katulad ng mahabang dibisyon upang hanapin ang eksaktong square root digit ayon sa digit. Bagaman hindi sapilitan, maaaring mas madali mong maisagawa ang prosesong ito kung visual mong ayusin ang iyong lugar ng trabaho at ang iyong mga numero sa mga madaling gamiting bahagi. Una, gumuhit ng isang patayong linya na hinahati ang iyong lugar ng trabaho sa dalawang seksyon, pagkatapos ay gumuhit ng isang mas maikling pahalang na linya malapit sa kanang tuktok upang hatiin ang tamang seksyon sa isang mas maliit na seksyon sa itaas at isang mas malaking seksyon sa ibaba. Susunod, paghiwalayin ang iyong mga digit sa mga pares, simula sa decimal point. Halimbawa, pagsunod sa panuntunang ito, 79,520,789,182, 47897 ay nagiging "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Isulat ang iyong numero sa kaliwang tuktok.
Halimbawa, subukang kalkulahin ang square root ng 780, 14. Gumuhit ng dalawang linya upang hatiin ang iyong lugar ng trabaho sa itaas at isulat ang "7 80. 14" sa kaliwang itaas. Hindi mahalaga kung ang kaliwang numero ay isang solong numero, at hindi isang pares ng mga numero. Isusulat mo ang iyong sagot (square root 780, 14) sa kanang bahagi sa itaas
Hakbang 2. Hanapin ang pinakamalaking integer na ang parisukat na halaga ay mas mababa sa o katumbas ng numero (o pares ng mga numero) sa dulong kaliwa
Magsimula sa dulong kaliwa ng iyong numero, parehong mga pares ng numero at solong mga numero. Hanapin ang pinakamalaking perpektong parisukat na mas mababa sa o katumbas ng numerong ito, pagkatapos hanapin ang square root ng perpektong parisukat na ito. Ang bilang na ito ay n. Isulat ang n sa kanang itaas at isulat ang parisukat ng n sa ibabang kanang kuwadrante.
Sa aming halimbawa, ang kaliwang kaliwa ay ang bilang 7. Dahil alam natin na 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, masasabi natin na n = 2 sapagkat ang 2 ang pinakamalaking integer na ang parisukat na halaga ay mas mababa sa o katumbas ng 7. Isulat ang 2 sa kanang itaas na quadrant. Ito ang unang digit ng aming sagot. Isulat ang 4 (parisukat na halaga ng 2) sa ibabang kanang quadrant. Ang numerong ito ay mahalaga para sa susunod na hakbang.
Hakbang 3. Bawasan ang numero na kakalkula mo lamang mula sa kaliwang pares
Tulad ng mahabang paghati, ang susunod na hakbang ay upang bawasan ang halaga ng parisukat na natagpuan lamang namin mula sa bahaging sinuri namin. Isulat ang numerong ito sa ilalim ng unang bahagi at ibawas ito, isulat ang iyong sagot sa ibaba nito.
-
Sa aming halimbawa, magsusulat kami ng 4 sa ilalim ng 7, pagkatapos ay ibawas ito. Ang pagbabawas na ito ay magbubunga ng isang sagot
Hakbang 3..
Hakbang 4. I-drop ang susunod na pares
Ilipat ang susunod na seksyon ng numero kung saan mo hinahanap ang parisukat na ugat, sa tabi ng halaga ng pagbabawas na ngayon mo lang nahanap. Susunod, i-multiply ang numero sa kanang itaas na quadrant ng dalawa at isulat ang sagot sa kanang kanang parisukat. Sa tabi ng bilang na isinulat mo lamang, mag-iwan ng puwang para sa problema sa pagpaparami na gagawin mo sa susunod na hakbang sa pamamagitan ng pagsulat ng '"_ × _ ="'.
Sa aming halimbawa, ang susunod na pares ng aming mga numero ay "80". Isulat ang "80" sa tabi ng 3 sa kaliwang kuwadrante. Susunod, i-multiply ang numero sa kanang tuktok ng dalawa. Ang bilang na ito ay 2, kaya 2 × 2 = 4. Isulat ang "'4"' sa ibabang kanang quadrant, na sinusundan ng _×_=.
Hakbang 5. Punan ang mga patlang sa tamang quadrant
Dapat mong punan ang lahat ng mga blangko na isinulat mo lamang sa tamang quadrant na may parehong buong numero. Ang integer na ito ay dapat na pinakamalaking integer na ginagawang mas mababa sa o katumbas ng bilang na kasalukuyang kaliwa ang produkto.
Sa aming halimbawa, pinupunan namin ang mga blangko ng 8, na nagreresulta sa 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Ang halagang ito ay higit sa 384. Samakatuwid, ang 8 ay masyadong malaki, ngunit ang 7 ay maaaring gumana. Isulat ang 7 sa mga patlang at lutasin ang: 4 (7) × 7 = 329. Ang 7 ay wastong bilang sapagkat ang 329 ay mas mababa sa 380. Isulat ang 7 sa kanang itaas na quadrant. Ito ang pangalawang digit sa square root na 780, 14
Hakbang 6. Ibawas ang numero na kakalkula mo lamang mula sa numero ngayon sa kaliwa
Magpatuloy sa chain ng pagbabawas gamit ang mahabang paraan ng paghati. Kunin ang produkto ng problema sa kanang kuwadrante at ibawas ito mula sa numero na nasa kaliwa ngayon, habang sinusulat ang iyong mga sagot sa ibaba.
Sa aming halimbawa, ibabawas namin ang 329 mula 380, na nagbibigay ng resulta 51.
Hakbang 7. Ulitin ang hakbang 4
Kunin ang susunod na bahagi ng numero kung saan mo hinahanap ang parisukat na ugat. Kapag naabot mo ang decimal point sa iyong numero, isulat ang decimal point sa iyong sagot sa kanang itaas na quadrant. Pagkatapos, i-multiply ang numero sa kanang tuktok ng 2 at isulat ito sa tabi ng blangkong problema sa pagpaparami ("_ × _") sa itaas.
Sa aming halimbawa, dahil nakikipag-usap kami ngayon sa decimal point sa 780, 14, isulat ang decimal point pagkatapos ng aming kasalukuyang sagot sa kanang itaas. Susunod, ibababa ang susunod na pares (14) sa kaliwang kuwadrante. Dalawang beses ang numero sa kanang itaas (27) ay katumbas ng 54, kaya isulat ang "54 _ × _ =" sa ibabang kanang kuwadrante
Hakbang 8. Ulitin ang mga hakbang 5 at 6
Hanapin ang pinakamalaking digit upang punan ang mga blangko sa kanan, na nagbibigay ng isang sagot na mas mababa sa o katumbas ng bilang na kasalukuyang nasa kaliwa. Pagkatapos, lutasin ang problema.
Sa aming halimbawa, 549 × 9 = 4941, na mas mababa sa o katumbas ng numero sa kaliwa (5114). 549 × 10 = 5490 ay masyadong malaki, kaya 9 ang iyong sagot. Isulat ang 9 bilang susunod na digit sa kanang itaas na quadrant at ibawas ang produkto mula sa numero sa kaliwa: 5114 na minus 4941 ay katumbas ng 173
Hakbang 9. Upang ipagpatuloy ang pagbibilang ng mga digit, babaan ang pares ng mga zero sa kaliwa, at ulitin ang mga hakbang 4, 5, at 6
Para sa higit na katumpakan, ipagpatuloy ang prosesong ito upang makita ang daan-daang, libo, at higit pang mga lugar sa iyong sagot. Magpatuloy na gamitin ang siklo na ito hanggang sa makita mo ang decimal na lugar na gusto mo.
Pag-unawa sa Proseso
Hakbang 1. Isipin ang bilang na iyong kinalkula ang square root ng bilang lugar na S ng isang parisukat
Dahil ang lugar ng isang parisukat ay P2 kung saan ang P ay ang haba ng isa sa mga gilid, pagkatapos sa pamamagitan ng pagsubok na hanapin ang square square ng iyong numero, talagang sinusubukan mong kalkulahin ang haba P ng gilid na iyon ng parisukat.
Hakbang 2. Tukuyin ang mga variable ng liham para sa bawat digit ng iyong sagot
Itakda ang variable A bilang unang digit ng P (ang square root na sinusubukan naming kalkulahin). Ang B ay magiging pangalawang digit, C ang pangatlong digit, at iba pa.
Hakbang 3. Tukuyin ang mga variable ng liham para sa bawat bahagi ng iyong panimulang numero
Itakda ang variable Sa para sa unang pares ng mga digit sa S (ang iyong paunang halaga), Sb para sa ikalawang pares ng mga digit, atbp.
Hakbang 4. Maunawaan ang ugnayan sa pagitan ng pamamaraang ito at mahabang paghati
Ang pamamaraang ito ng paghanap ng parisukat na ugat ay karaniwang isang problema sa mahabang paghati na hinahati sa iyong paunang numero sa pamamagitan ng parisukat na ugat, na nagbibigay sa iyo ng parisukat na ugat ng sagot. Tulad ng sa problema sa mahabang paghati, interesado ka lang sa susunod na digit sa bawat hakbang. Sa ganitong paraan, interesado ka lamang sa susunod na dalawang digit sa bawat hakbang (na kung saan ay ang susunod na digit sa bawat hakbang para sa square root).
Hakbang 5. Hanapin ang pinakamalaking bilang na ang parisukat na halaga ay mas mababa sa o katumbas ng Sa.
Ang unang digit ng A sa aming sagot ay ang pinakamalaking integer na ang parisukat na halaga ay hindi lalampas sa Sa (ie A upang ang A² Sa <(A + 1) ²). Sa aming halimbawa, Sa = 7, at 2² 7 <3², kaya A = 2.
Tandaan na, halimbawa, kung nais mong hatiin ang 88962 ng 7 gamit ang mahabang paghati, ang mga unang hakbang ay magkapareho: makikita mo ang unang digit ng 88962 (na kung saan ay 8) at hinahanap mo ang pinakamalaking digit kung saan, kapag pinarami ng 7, ay mas mababa sa o katumbas ng 8 Karaniwan, hinahanap mo ang d upang ang 7 × d 8 <7 × (d + 1). Sa kasong ito, ang d ay magiging pantay sa 1
Hakbang 6. Isipin ang halaga ng parisukat na ang lugar ay malapit ka nang magsimulang magtrabaho
Ang iyong sagot, ang parisukat na ugat ng iyong panimulang numero, ay P, na naglalarawan sa haba ng parisukat na may lugar na S (iyong panimulang numero). Ang iyong mga marka para sa A, B, C, ay kumakatawan sa mga digit sa halagang P. Isa pang paraan ng pagsasabi na ito ay 10A + B = P (para sa isang dalawang-digit na sagot), 100A + 10B + C = P (para sa isang tatlong- digit na sagot), atbp.
Sa aming halimbawa, (10A + B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Tandaan na ang 10A + B ay kumakatawan sa aming sagot, P, na may B sa mga posisyon at A sa sampung posisyon. Halimbawa, sa A = 1 at B = 2, pagkatapos ang 10A + B ay katumbas ng 12. (10A + B) ² ay ang kabuuang lugar ng parisukat, habang 100A² ay ang lugar ng pinakamalaking parisukat dito, B² ay ang lugar ng pinakamaliit na parisukat dito, at 10A × B ay ang lugar ng dalawang natitirang mga parihaba. Sa pamamagitan ng paggawa ng mahaba at nagkakaugnay na prosesong ito, mahahanap namin ang kabuuang sukat ng isang parisukat sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga lugar ng mga parisukat at mga parihaba sa loob.
Hakbang 7. Ibawas ang A² mula sa Sa.
Bawasan ang isang pares ng mga digit (Sb) ng S. Halaga ng Sa Sb malapit sa kabuuang lugar ng parisukat, na ginamit mo lamang upang ibawas ang mas malaking panloob na parisukat. Ang natitira ay maaaring isipin bilang bilang N1, na nakuha namin sa hakbang 4 (N1 = 380 sa aming halimbawa). Ang N1 ay katumbas ng 2 at beses: 10A × B + B² (lugar ng dalawang mga parihaba kasama ang lugar ng mas maliit na parisukat).
Hakbang 8. Hanapin ang N1 = 2 × 10A × B + B², na nakasulat din bilang N1 = (2 × 10A + B) × B
Sa aming halimbawa, alam mo na ang N1 (380) at A (2), kaya kailangan mong hanapin ang B. B ay malamang na hindi isang buong numero, kaya kailangan mo talagang hanapin ang pinakamalaking integer B na (2 × 10A + B) × B N1. Kaya mayroon kang: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
Hakbang 9. Tapusin
Upang malutas ang equation na ito, i-multiply ang A ng 2, ilipat ang resulta sa posisyon na sampu (ang katumbas ng pag-multiply ng 10), ilagay ang B sa mga posisyon na iyon, at i-multiply ang numero ng B. Sa madaling salita, lutasin (2 × 10A + B) × B. Ito mismo ang ginagawa mo kapag isinulat mo ang "N_ × _ =" (na may N = 2 × A) sa ibabang kanang quadrant sa hakbang 4. Sa hakbang 5, mahahanap mo ang pinakamalaking integer B na tumutugma sa ang numero sa ibaba nito upang (2 × 10A + B) × B N1.
Hakbang 10. Ibawas ang lugar (2 × 10A + B) × B mula sa kabuuang lugar
Ang pagbabawas na ito ay nagreresulta sa lugar na S- (10A + B) ² na hindi pa nakakalkula (at alin ang gagamitin upang makalkula ang susunod na digit sa parehong paraan).
Hakbang 11. Upang makalkula ang susunod na digit, C, ulitin ang proseso
Ibaba ang susunod na pares (Sc) ng S upang makuha ang N2 sa kaliwa, at hanapin ang pinakamalaking C upang mayroon ka (2 × 10 × (10A + B) + C) × C N2 (katumbas ng pagsulat ng dalawang beses sa dalawang digit na bilang na "AB" na sinusundan ng "_ × _ =". Hanapin ang pinakamalaking bilang ng pagtutugma sa mga blangko, na nagbibigay ng isang sagot na mas mababa sa o katumbas ng N2, tulad ng dati.
Mga Tip
- Ang paglipat ng isang decimal point sa pamamagitan ng isang maramihang mga dalawang digit sa isang numero (isang maramihang mga 100), nangangahulugang paglipat ng isang decimal point sa pamamagitan ng isang maramihang isang digit sa kanyang square root (isang maramihang 10).
- Sa halimbawang ito, ang 1.73 ay maaaring maituring na isang "natitira": 780, 14 = 27, 9 ² + 1.73.
- Ang pamamaraang ito ay maaaring magamit para sa anumang base, hindi lamang base 10 (decimal).
- Maaari mong gamitin ang calculus na mas maginhawa para sa iyo. Ang ilang mga tao ay nagsusulat ng resulta sa itaas ng paunang numero.
- Ang isang kahaliling paraan ng paggamit ng paulit-ulit na mga praksyon ay sundin ang formula na ito: z = (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x +…))). Halimbawa, upang makalkula ang square root ng 780, 14, ang integer na ang square na halaga ay pinakamalapit sa 780, 14 ay 28, kaya z = 780, 14, x = 28, at y = -3, 86. Pagpasok ng mga halaga at kinakalkula ang mga pagtatantya lamang para sa x + y / (2x) na ibinubunga nito (sa pinakasimpleng termino) 78207/20800 o mga 27, 931 (1); susunod na termino, 4374188/156607 o humigit-kumulang na 27, 930986 (5). Ang bawat term ay nagdaragdag ng tungkol sa 3 decimal lugar sa kawastuhan ng nakaraang bilang ng mga decimal na lugar.
