Ang bawat pag-andar ay may dalawang variable, lalo ang independiyenteng variable at ang dependant variable. Literal na ang halaga ng umaasang variable na "nakasalalay" sa independiyenteng variable. Halimbawa, sa pagpapaandar y = f (x) = 2 x + y, ang x ay ang malayang variable at ang y ay ang dependant na variable (sa madaling salita, ang y ay isang pagpapaandar ng x). Ang mga wastong halaga para sa kilalang variable x ay tinatawag na "mga domain ng pinagmulan." Ang mga wastong halaga para sa kilalang y variable ay tinatawag na "saklaw ng resulta."
Hakbang
Bahagi 1 ng 3: Paghahanap ng Domain ng isang Pag-andar
Hakbang 1. Magpasya kung anong uri ng pagpapaandar ang iyong isasagawa
Ang domain ng pagpapaandar ay ang lahat ng mga x-halaga (pahalang na axis) na magbabalik ng wastong mga y-halaga. Ang equation ng pagpapaandar ay maaaring isang quadratic, isang maliit na bahagi, o naglalaman ng isang ugat. Upang makalkula ang domain ng pagpapaandar, ang unang bagay na kailangan mong gawin ay suriin ang mga variable sa equation.
- Ang isang quadratic function ay mayroong form ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Ang mga halimbawa ng mga pagpapaandar na may mga praksyon ay kinabibilangan ng: f (x) = (1/x), f (x) = (x + 1)/(x - 1), at iba pa.
- Ang mga pagpapaandar na may mga ugat ay kinabibilangan ng: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x, at iba pa.
Hakbang 2. Isulat ang domain na may wastong notasyon
Ang pagsulat ng domain ng isang pagpapaandar ay nagsasangkot ng paggamit ng mga square bracket [,] pati na rin mga bracket (,). Gumamit ng mga square bracket [,] kung ang numero ay kabilang sa domain at gumamit ng mga bracket (,) kung hindi kasama sa domain ang numero. Ang letrang U ay nangangahulugang isang unyon na nag-uugnay sa mga bahagi ng domain na maaaring pinaghiwalay ng isang distansya.
- Halimbawa, ang domain ng [-2, 10) U (10, 2] ay nagsasama ng -2 at 2, ngunit hindi kasama ang bilang 10.
- Palaging gumamit ng panaklong () kung gumagamit ka ng infinity simbolo,.
Hakbang 3. Gumuhit ng isang graph ng quadratic equation
Ang mga quadratic equation ay gumagawa ng isang parabolic graph na bubukas o pababa. Isinasaalang-alang na ang parabola ay magpapatuloy ng kawalang-hanggan sa x-axis, ang domain ng karamihan sa mga quadratic equation ay lahat ng totoong mga numero. Maglagay ng ibang paraan, ang isang quadratic equation ay may kasamang lahat ng mga x-halaga sa linya ng numero, na binibigyan ang domain R (simbolo para sa lahat ng totoong mga numero).
- Upang malutas ang pagpapaandar, pumili ng anumang x-halaga at ipasok ito sa pagpapaandar. Ang paglulutas ng isang pagpapaandar na may x-halaga ay magbabalik ng isang y-halaga. Ang mga halaga ng x at y ay ang (x, y) mga coordinate ng isang graph ng pagpapaandar.
- I-plot ang mga coordinate na ito sa isang graph at ulitin ang proseso sa isa pang x-halaga.
- Ang paglalagay ng ilan sa mga halaga sa modelong ito ay magbibigay sa iyo ng isang pangkalahatang ideya ng hugis ng quadratic function.
Hakbang 4. Kung ang equation ng pagpapaandar ay isang maliit na bahagi, gawin ang denominator na katumbas ng zero
Kapag nagtatrabaho sa mga praksyon, hindi ka maaaring maghati ng zero. Sa pamamagitan ng paggawa ng denominator na katumbas ng zero at paghanap ng halaga ng x, maaari mong kalkulahin ang mga halagang nakuha mula sa pagpapaandar.
- Halimbawa: Tukuyin ang domain ng pagpapaandar f (x) = (x + 1)/(x - 1).
- Ang denominator ng pagpapaandar ay (x - 1).
- Gawin ang denominator na katumbas ng zero at kalkulahin ang halaga ng x: x - 1 = 0, x = 1.
- Isulat ang domain: Ang domain ng pagpapaandar ay hindi kasama ang 1, ngunit may kasamang lahat ng totoong mga numero maliban sa 1; samakatuwid, ang domain ay (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) Ang U (1,) ay mababasa bilang isang koleksyon ng lahat ng totoong mga numero maliban sa 1. Ang simbolo para sa infinity,, ay kumakatawan sa lahat ng totoong mga numero. Sa kasong ito, lahat ng totoong mga numero na mas malaki sa 1 at mas mababa sa 1 ay kasama sa domain.
Hakbang 5. Kung ang equation ay isang pagpapaandar ng ugat, gawin ang mga variable ng ugat na mas malaki sa o katumbas ng zero
Hindi mo magagamit ang parisukat na ugat ng isang negatibong numero; samakatuwid, ang anumang x-halaga na humantong sa isang negatibong numero ay dapat na alisin mula sa domain ng pagpapaandar.
- Halimbawa: Hanapin ang domain ng pagpapaandar f (x) = (x + 3).
- Ang mga variable sa ugat ay (x + 3).
- Gawing mas malaki ang halaga kaysa sa o katumbas ng zero: (x + 3) 0.
- Kalkulahin ang halaga para sa x: x -3. Malutas para sa x: x -3.
- Kasama sa domain ng pagpapaandar ang lahat ng totoong mga bilang na mas malaki sa o katumbas ng -3; samakatuwid, ang domain ay [-3,).
Bahagi 2 ng 3: Paghahanap ng Saklaw ng isang Quadratic Equation
Hakbang 1. Tiyaking mayroon kang isang quadratic function
Ang quadratic function ay mayroong form ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Ang grap ng pagpapaandar na quadratic ay isang parabola na bubukas pataas o pababa. Mayroong iba't ibang mga paraan upang makalkula ang saklaw ng pagpapaandar depende sa uri ng pagpapaandar na iyong ginagawa.
Ang pinakamadaling paraan upang matukoy ang saklaw ng iba pang mga pagpapaandar, tulad ng isang pag-andar ng ugat o isang pagpapaandar na maliit na bahagi, ay upang i-grap ang pagpapaandar gamit ang isang graphing calculator
Hakbang 2. Hanapin ang x-halaga ng vertex ng pagpapaandar
Ang vertex ng isang quadratic function ay ang vertex ng parabola. Tandaan, ang anyo ng pagpapaandar na quadratic ay palakol2 + bx + c. Upang hanapin ang x-coordinate gamitin ang equation x = -b / 2a. Ang equation ay isang hango ng isang pangunahing quadratic function na kumakatawan sa isang equation na may isang zero slope / slope (sa vertex ng graph, ang gradient ng pagpapaandar ay zero).
- Halimbawa, hanapin ang saklaw ng 3x2 + 6x -2.
- Kalkulahin ang x-coordinate ng vertex: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
Hakbang 3. Kalkulahin ang y-halaga ng vertex ng pagpapaandar
I-plug ang x-coordinate sa pagpapaandar upang makalkula ang kaukulang y-halaga ng vertex. Ang y-halaga na ito ay nagpapahiwatig ng limitasyon ng saklaw ng pagpapaandar.
- Kalkulahin ang y-coordinate: y = 3x2 + 6x - 2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Ang vertex ng pagpapaandar na ito ay (-1, -5).
Hakbang 4. Tukuyin ang direksyon ng parabola sa pamamagitan ng pag-plug sa hindi bababa sa isa pang x-halaga
Pumili ng anumang iba pang x-halaga at i-plug ito sa pagpapaandar upang makalkula ang naaangkop na y-halaga. Kung ang y-halaga ay nasa itaas ng vertex, ang parabola ay patuloy na + ∞. Kung ang y-halaga ay nasa ibaba ng vertex, ang parabola ay magpapatuloy sa -∞.
- Gumamit ng x-value -2: y = 3x2 + 6x - 2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Ang pagkalkula na ito ay nagbabalik ng mga coordinate (-2, -2).
- Ipinapakita sa iyo ng mga coordinate na ito na ang parabola ay nagpapatuloy sa itaas ng vertex (-1, -5); samakatuwid, kasama sa saklaw ang lahat ng mga halagang y-mas mataas sa -5.
- Ang saklaw ng pagpapaandar na ito ay [-5,).
Hakbang 5. Isulat ang saklaw na may wastong notasyon
Tulad ng mga domain, ang mga saklaw ay nakasulat na may parehong notasyon. Gumamit ng mga square bracket [,] kung ang numero ay nasa saklaw at gumamit ng mga bracket (,) kung ang range ay hindi kasama ang bilang. Ang letrang U ay nagpapahiwatig ng isang unyon na nag-uugnay sa mga bahagi ng saklaw na maaaring pinaghiwalay ng isang distansya.
- Halimbawa, ang saklaw ng [-2, 10) U (10, 2] ay nagsasama ng -2 at 2, ngunit hindi kasama ang bilang 10.
- Palaging gumamit ng panaklong kung gagamitin mo ang infinity simbolo,.
Bahagi 3 ng 3: Paghahanap ng Saklaw mula sa Grap ng isang Pag-andar
Hakbang 1. Iguhit ang pagpapaandar
Kadalasan, ang pinakamadaling paraan upang matukoy ang saklaw ng isang pagpapaandar ay ang pag-grap dito. Maraming mga pagpapaandar ng ugat ay may saklaw (-∞, 0] o [0, + ∞) dahil ang vertex ng pahalang na parabola (patagilid na parabola) ay nasa pahalang x axis. Sa kasong ito, kasama sa pagpapaandar ang lahat ng mga positibong halaga ng y kung magbubukas ang parabola, o lahat ng mga negatibong halaga ng y kung bumababa ang parabola. Ang mga pagpapaandar na praksyonal ay magkakaroon ng mga asymptote (mga linya na hindi pinuputol ng isang tuwid na linya / kurba ngunit lumalapit sa kawalang-hanggan) na tumutukoy sa saklaw ng pagpapaandar.
- Ang ilang mga pagpapaandar ng ugat ay magsisimula sa itaas o sa ibaba ng x-axis. Sa kasong ito, ang saklaw ay natutukoy ng numero kung saan nagsisimula ang pag-andar ng ugat. Kung ang parabola ay nagsisimula sa y = -4 at tumataas pagkatapos ang saklaw ay [-4, + ∞).
- Ang pinakamadaling paraan upang gumuhit ng isang pagpapaandar ay ang paggamit ng isang graphing program o graphing calculator.
- Kung wala kang isang graphing calculator, maaari kang gumuhit ng isang magaspang na sketch ng grap sa pamamagitan ng pag-plug ng x-halaga sa pagpapaandar at pagkuha ng naaangkop na y-halaga. I-plot ang mga coordinate na ito sa isang grap upang makakuha ng ideya kung ano ang hitsura ng grap.
Hakbang 2. Hanapin ang minimum na halaga ng pagpapaandar
Kaagad pagkatapos na iguhit ang pagpapaandar, dapat mong malinaw na makita ang pinakamababang punto ng graph. Kung walang malinaw na minimum na halaga, alamin na ang ilang mga pagpapaandar ay magpapatuloy sa -∞ (infinity).
Ang isang pagpapaandar na praksyon ay isasama ang lahat ng mga puntos maliban sa mga nasa asymptotes. Ang pagpapaandar ay may isang saklaw tulad ng (-∞, 6) U (6,)
Hakbang 3. Tukuyin ang maximum na halaga ng pagpapaandar
Muli, pagkatapos ng pagguhit ng grap, dapat mong makilala ang maximum point ng pagpapaandar. Ang ilang mga pagpapaandar ay magpapatuloy sa + ∞ at samakatuwid, ay walang minimum na halaga.
Hakbang 4. Isulat ang saklaw na may wastong notasyon
Tulad ng mga domain, ang mga saklaw ay nakasulat na may parehong notasyon. Gumamit ng mga square bracket [,] kung ang numero ay nasa saklaw at gumamit ng mga bracket (,) kung ang range ay hindi kasama ang numero. Ang letrang U ay nagpapahiwatig ng isang unyon na nag-uugnay sa mga bahagi ng saklaw na maaaring pinaghiwalay ng isang distansya.
- Halimbawa, ang saklaw ng [-2, 10) U (10, 2] ay nagsasama ng -2 at 2, ngunit hindi kasama ang bilang 10.
- Palaging gumamit ng panaklong kung gagamitin mo ang infinity simbolo,.
