Paano Mag-hango ng Mga Implicit na Pag-andar: 7 Hakbang (na may Mga Larawan)

2024 May -akda: Jason Gerald | [email protected]. Huling binago: 2024-01-19 22:14

Sa calculus, kapag mayroon kang isang equation para sa y nakasulat sa form x (hal. Y = x² -3x), madaling gamitin ang mga pangunahing diskarte sa paghihiwalay (na tinutukoy ng mga dalub-agbilang bilang implicit na mga diskarte na nagmumula sa pag-andar) upang hanapin ang derivative. Gayunpaman, para sa mga equation na mahirap buuin na may y term lamang sa isang gilid ng katumbas na sign (hal. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), kakaibang diskarte ang kinakailangan. Sa pamamagitan ng isang diskarteng tinatawag na implicit function derivatives, madali itong makahanap ng mga derivatives ng mga multi-variable na equation hangga't alam mo ang mga pangunahing kaalaman ng tahasang derivatives ng pag-andar!

Hakbang

Paraan 1 ng 2: Mabilis na Nakuha ang Mga Simpleng Equation

Hakbang 1. Kunin ang x mga termino tulad ng dati

Kapag sinusubukan mong makuha ang isang multi-variable equation tulad ng x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, maaaring mahirap malaman kung saan magsisimula. Sa kasamaang palad, ang unang hakbang ng hango ng isang ipinahiwatig na pag-andar ay ang pinakamadali. Nakuha lamang ang mga x-term at ang mga pare-pareho sa magkabilang panig ng equation alinsunod sa mga patakaran ng ordinaryong (tahasang) derivatives na magsisimula. Huwag pansinin ang mga y-term para sa pansamantala.

• Subukan nating kumuha ng isang halimbawa ng simpleng equation sa itaas. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = Ang 19 ay may dalawang term x: x² at -5x. Kung nais nating makakuha ng isang equation, kailangan muna nating gawin ito, tulad nito:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Dalhin sa lakas ng 2 sa x² bilang koepisyent, alisin ang x sa -5x, at baguhin ang 19 hanggang 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Hakbang 2. Kunin ang mga term ng y at idagdag ang (dy / dx) sa tabi ng bawat term

Para sa iyong susunod na hakbang, kunin lamang ang mga term ng y sa parehong paraan na nagmula sa mga x term. Sa oras na ito, gayunpaman, magdagdag (dy / dx) sa tabi ng bawat term na nais mong magdagdag ng mga coefficients. Halimbawa, kung babaan mo ang y², pagkatapos ang derivative ay nagiging 2y (dy / dx). Balewalain ang mga term na mayroong x at y sa kasalukuyan.

• Sa aming halimbawa, ganito ang hitsura ng aming equation: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Gagawa namin ang susunod na hakbang ng pagkuha ng y tulad ng sumusunod:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Dalhin sa lakas ng 2 sa y² bilang mga koepisyent, alisin ang y sa 8y, at ilagay ang dy / dx sa tabi ng bawat term).

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy²= 0

Hakbang 3. Gamitin ang panuntunan sa produkto o ang panuntunang panukat para sa mga term na mayroong x at y

Ang pagtatrabaho sa mga term na mayroong x at y ay medyo mahirap, ngunit kung alam mo ang mga patakaran para sa produkto at sumukat para sa mga derivatives, madali mo itong mahahanap. Kung ang mga term na x at y ay pinarami, gamitin ang panuntunan sa produkto ((f × g) '= f' × g + g × f '), na pinapalitan ang x term para sa f at ang y term para sa g. Sa kabilang banda, kung ang mga term na x at y ay magkakasamang eksklusibo, gamitin ang panuntunang panukat ((f / g) '= (g × f' - g '× f) / g²), na pinapalitan ang numerator para sa f at ang denominator para sa g.

• Sa aming halimbawa, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy² = 0, mayroon lamang kaming isang term na mayroong x at y - 2xy². Dahil ang x at y ay pinarami ng bawat isa, gagamitin namin ang panuntunan sa produkto upang makuha ang mga sumusunod:

  2xy² = (2x) (y²) - itakda ang 2x = f at y² = g sa (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy / dx))

  (f × g) '= 2y² + 4xy (dy / dx)

• Ang pagdaragdag nito sa aming pangunahing equation, nakukuha namin 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

Hakbang 4. Mag-isa (dy / dx)

Halos tapos ka na! Ngayon, ang kailangan mo lang gawin ay malutas ang equation (dy / dx). Mukhang mahirap ito, ngunit kadalasan ay hindi - tandaan na ang anumang dalawang term na a at b ay pinarami ng (dy / dx) ay maaaring maisulat bilang (a + b) (dy / dx) dahil sa namamahaging pag-aari ng multiplikasyon. Ang taktika na ito ay maaaring gawing mas madali ang paghihiwalay (dy / dx) - ilipat lamang ang lahat ng iba pang mga term sa kabilang panig ng panaklong, pagkatapos hatiin ang mga term sa panaklong sa tabi ng (dy / dx).

• Sa aming halimbawa, pinapasimple namin ang 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0 tulad ng sumusunod:

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Paraan 2 ng 2: Paggamit ng Mga Advanced na Diskarte

Hakbang 1. Ipasok ang halaga (x, y) upang hanapin (dy / dx) para sa anumang punto

Ligtas! Nakuha mo na ang iyong equation nang implicitly - hindi isang madaling trabaho sa unang pagsubok! Ang paggamit ng equation na ito upang mahanap ang gradient (dy / dx) para sa anumang point (x, y) ay kasing dali ng pag-plug ng mga halagang x at y para sa iyong point sa kanang bahagi ng equation, pagkatapos ay maghanap (dy / dx).

• Halimbawa, ipagpalagay na nais nating hanapin ang gradient sa puntong (3, -4) para sa aming halimbawa ng equation sa itaas. Upang magawa ito, papalitan namin ang 3 para sa x at -4 para sa y, paglutas ng mga sumusunod:

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

  (dy / dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))

  (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, o 0, 6875.

Hakbang 2. Gamitin ang panuntunan sa kadena para sa mga pagpapaandar-sa-loob ng mga pag-andar

Ang panuntunan sa kadena ay isang mahalagang piraso ng kaalaman na mayroon kapag nagtatrabaho sa mga problema sa calculus (kabilang ang mga implicit function na nagmula sa pag-andar). Nakasaad sa panuntunan sa kadena na para sa isang pagpapaandar F (x) na maaaring maisulat bilang (f o g) (x), ang hinalang F (x) ay katumbas ng f '(g (x)) g' (x). Para sa mahirap na hindi naimpluwensyang mga derivative na problema ng pag-andar, nangangahulugan ito na posible na makuha ang iba't ibang mga indibidwal na bahagi ng equation, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga resulta.

• Bilang isang simpleng halimbawa, ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang hinalaw ng kasalanan (3x² + x) bilang bahagi ng mas malaking implicit function na nagmula sa pag-andar para sa equation sin (3x² + x) + y³ = 0. Kung naiisip natin ang kasalanan (3x² + x) bilang f (x) at 3x² + x bilang g (x), mahahanap natin ang derivative tulad ng sumusunod:

  f '(g (x)) g' (x)

  (kasalanan (3x² + x)) '× (3x² + x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² + x)

Hakbang 3. Para sa mga equation na may variable na x, y, at z, hanapin (dz / dx) at (dz / dy)

Bagaman hindi pangkaraniwan sa pangunahing calculus, ang ilang mga advanced na application ay maaaring mangailangan ng paghula ng mga implicit na pag-andar ng higit sa dalawang mga variable. Para sa bawat karagdagang variable, dapat mong hanapin ang karagdagang derivative na patungkol sa x. Halimbawa, kung mayroon kang x, y, at z, dapat kang maghanap para sa pareho (dz / dy) at (dz / dx). Magagawa natin ito sa pamamagitan ng pagkuha ng equation na may paggalang sa x dalawang beses - una, papasok kami (dz / dx) tuwing nakakakuha kami ng isang term na naglalaman ng z, at pangalawa, isisingit namin (dz / dy) tuwing nagmumula tayo z. Pagkatapos nito, isang bagay lamang sa paglutas (dz / dx) at (dz / dy).

• Halimbawa, sabihin nating sinusubukan nating makakuha x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Una, magmula laban sa x at ipasok (dz / dx). Huwag kalimutang ilapat ang panuntunan sa produkto kung kinakailangan!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz / dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz / dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) = 2x - 3x²z² + 5y⁵z

  (dz / dx) = (2x - 3x²z² + 5y⁵z) / (2x³z - 5xy⁵)

• Ngayon, gawin ang pareho para sa (dz / dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz / dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz / dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz / dy) = (3y² + 25xy⁴z) / (2x³z - 5xy⁵)