Sa isang "sistema ng mga equation", hihilingin sa iyo na lutasin ang dalawa o higit pang mga equation nang sabay-sabay. Kapag ang dalawang mga equation ay may dalawang magkakaibang mga variable, halimbawa x at y, ang solusyon ay maaaring mukhang mahirap sa una. Sa kabutihang palad, sa sandaling alam mo kung ano ang kailangan mong gawin, maaari mo lamang gamitin ang iyong mga kasanayan sa algebraic (at ang agham ng pagkalkula ng mga praksyon) upang malutas ang problema. Alamin din kung paano iguhit ang dalawang equation na ito kung ikaw ay isang visual na nag-aaral, o kinakailangan ng guro. Tutulungan ka ng mga guhit na makilala ang paksa o suriin ang mga resulta ng iyong trabaho. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay mas mabagal kaysa sa iba pang mga pamamaraan, at hindi maaaring gamitin para sa lahat ng mga system ng mga equation.
Hakbang
Paraan 1 ng 3: Paggamit ng Pamamaraan ng Pagpapalit
Hakbang 1. Ilipat ang mga variable sa kabaligtaran ng equation
Ang pamamaraan ng pagpapalit ay nagsisimula sa "paghahanap ng halaga ng x" (o anumang iba pang variable) sa isa sa mga equation. Halimbawa, sabihin ang equation ng problema ay 4x + 2y = 8 at 5x + 3y = 9. Magsimula sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa unang equation. Muling ayusin ang equation sa pamamagitan ng pagbawas ng 2y sa magkabilang panig. Sa gayon, makukuha mo 4x = 8 - 2y.
Ang pamamaraang ito ay madalas na gumagamit ng mga praksyon sa dulo. Kung hindi mo gusto ang pagbibilang ng mga praksiyon, subukan ang pamamaraang pag-aalis sa ibaba
Hakbang 2. Hatiin ang magkabilang panig ng equation upang "hanapin ang halaga ng x"
Kapag ang term na x (o anumang variable na ginagamit mo) ay nag-iisa sa isang bahagi ng equation, hatiin ang magkabilang panig ng equation ng mga coefficients upang ang variable lamang ang mananatili. Bilang isang halimbawa:
- 4x = 8 - 2y
- (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
- x = 2 - y
Hakbang 3. I-plug ang x halaga mula sa unang equation sa pangalawang equation
Siguraduhing isaksak mo ito sa pangalawang equation, sa halip na ang ngayon mo lang nagtrabaho. Kapalit (palitan) ang variable x sa pangalawang equation. Kaya, ang pangalawang equation ngayon ay mayroon lamang isang variable. Bilang isang halimbawa:
- Ay kilala x = 2 - y.
- Ang iyong pangalawang equation ay 5x + 3y = 9.
- Matapos ang pagpapalit ng x variable sa pangalawang equation na may halagang x mula sa unang equation, nakukuha namin ang "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Hakbang 4. Malutas ang natitirang mga variable
Ngayon, ang iyong equation ay may isang variable lamang. Kalkulahin ang equation sa mga ordinaryong pagpapatakbo ng algebraic upang mahanap ang halaga ng variable. Kung ang dalawang variable ay kinansela ang bawat isa, lumaktaw diretso sa huling hakbang. Kung hindi man makakakuha ka ng isang halaga para sa isa sa mga variable:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Kung hindi mo nauunawaan ang hakbang na ito, alamin kung paano magdagdag ng mga praksyon.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Hakbang 5. Gamitin ang nakuha na sagot upang hanapin ang totoong halaga ng x sa unang equation
Huwag lamang tumigil sapagkat ang iyong mga kalkulasyon ay hindi pa tapos. Dapat mong i-plug ang nakuha na sagot sa unang equation upang makita ang halaga ng mga natitirang variable:
- Ay kilala y = -2
- Ang isa sa mga equation sa unang equation ay 4x + 2y = 8. (Maaari mong gamitin ang alinman.)
- Palitan ang variable ng y ng -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Hakbang 6. Alamin kung ano ang gagawin kung ang dalawang variable ay magkakansela sa bawat isa
Pagpasok mo x = 3y + 2 o isang katulad na sagot sa pangalawang equation, nangangahulugang sinusubukan mong makakuha ng isang equation na mayroon lamang isang variable. Minsan, nakukuha mo lang ang equation wala variable. I-double check ang iyong trabaho, at tiyaking inilagay mo ang (muling pag-ayos) ng equation ng isa sa equation dalawa, sa halip na bumalik sa unang equation. Kung natitiyak mong wala kang nagawang mali, isulat ang isa sa mga sumusunod na resulta:
- Kung ang equation ay walang mga variable at hindi totoo (halimbawa, 3 = 5), ang problemang ito walang sagot. (Kapag ito ay graphed, ang dalawang mga equation na ito ay parallel at hindi kailanman matugunan.)
- Kung ang equation ay walang variable at Tama, (hal. 3 = 3), nangangahulugang mayroon ang tanong walang limitasyong mga sagot. Ang isang equation ay eksaktong kapareho ng equation na dalawa. (Kapag graphed, ang dalawang mga equation ay pareho linya.)
Paraan 2 ng 3: Paggamit ng Pamamaraan sa Pag-aalis
Hakbang 1. Hanapin ang magkabilang eksklusibong mga variable
Minsan, ang equation sa problema ay mayroon na kanselahin ang bawat isa kapag nadagdagan. Halimbawa, kung gagawin mo ang equation 3x + 2y = 11 at 5x - 2y = 13, ang mga terminong "+ 2y" at "-2y" ay magkakansela sa bawat isa at aalisin ang variable na "y" mula sa equation. Tingnan ang equation sa problema, at tingnan kung may mga variable na kinakansela ang bawat isa, tulad ng halimbawa. Kung hindi, magpatuloy sa susunod na hakbang.
Hakbang 2. I-multiply ang equation ng isa upang ang isang variable ay aalisin
(Laktawan ang hakbang na ito kung ang mga variable ay nakansela na ang bawat isa.) Kung ang equation ay walang mga variable na nakansela sa kanilang sarili, palitan ang isa sa mga equation upang maaari nilang kanselahin ang bawat isa. Tingnan ang mga sumusunod na halimbawa upang madali mong maunawaan ang mga ito:
- Ang mga equation sa problema ay 3x - y = 3 at - x + 2y = 4.
- Baguhin natin ang unang equation upang ang variable y kanselahin ang bawat isa. (Maaari mong gamitin ang variable x. Ang pangwakas na sagot na nakuha ay pareho.)
- Variable - y sa unang equation ay dapat na tinanggal ng + 2y sa pangalawang equation. Paano, dumami - y may 2.
- I-multiply ang magkabilang panig ng equation ng 2, tulad ng sumusunod: 2 (3x - y) = 2 (3), ganun 6x - 2y = 6. Ngayon, tribo - 2y makakansela ang bawat isa kasama + 2y sa pangalawang equation.
Hakbang 3. Pagsamahin ang dalawang mga equation
Ang trick ay upang idagdag ang kanang bahagi ng unang equation sa kanang bahagi ng pangalawang equation, at idagdag ang kaliwang bahagi ng unang equation sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation. Kung nagawa nang tama, ang isa sa mga variable ay magkakansela sa bawat isa. Subukan nating ipagpatuloy ang pagkalkula mula sa nakaraang halimbawa:
- Ang iyong dalawang equation ay 6x - 2y = 6 at - x + 2y = 4.
- Idagdag ang kaliwang panig ng dalawang equation: 6x - 2y - x + 2y =?
- Idagdag ang mga kanang bahagi ng dalawang equation: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Hakbang 4. Kunin ang huling halaga ng variable
Pasimplehin ang iyong equation ng tambalan, at gumana kasama ang karaniwang algebra upang makuha ang halaga ng huling variable. Kung, pagkatapos na gawing simple, ang equation ay walang mga variable, magpatuloy sa huling hakbang sa seksyong ito.
Kung hindi man, makakakuha ka ng isang halaga para sa isa sa mga variable. Bilang isang halimbawa:
- Ay kilala 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Mga variable ng pangkat x at y magkasama: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Pasimplehin ang equation: 5x = 10
- Hanapin ang x halaga: (5x) / 5 = 10/5, Upang makuha x = 2.
Hakbang 5. Hanapin ang halaga ng isa pang variable
Natagpuan mo ang halaga ng isang variable, ngunit paano ang iba pa? I-plug ang iyong sagot sa isa sa mga equation upang mahanap ang halaga ng natitirang variable. Bilang isang halimbawa:
- Ay kilala x = 2, at ang isa sa mga equation sa problema ay 3x - y = 3.
- Palitan ang variable ng x ng 2: 3 (2) - y = 3.
- Hanapin ang halaga ng y sa equation: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, ganun 6 = 3 + y
- 3 = y
Hakbang 6. Alamin kung ano ang gagawin kapag ang dalawang variable ay nakansela ang bawat isa
Minsan, ang pagsasama ng dalawang equation ay nagreresulta sa isang equation na walang katuturan, o hindi makakatulong sa iyong malutas ang problema. Suriin ang iyong trabaho, at kung sigurado kang wala kang ginawang mali, isulat ang isa sa mga sumusunod na dalawang sagot:
- Kung ang pinagsamang equation ay walang mga variable at hindi totoo (halimbawa, 2 = 7), ang problemang ito walang sagot. Nalalapat ang sagot na ito sa parehong mga equation. (Kapag ito ay graphed, ang dalawang mga equation na ito ay parallel at hindi kailanman matugunan.)
- Kung ang pinagsamang equation ay walang variable at Tama, (hal. 0 = 0), nangangahulugang mayroon ang tanong walang limitasyong mga sagot. Ang dalawang mga equation na ito ay magkapareho sa bawat isa. (Kapag graphed, ang dalawang mga equation ay pareho linya.)
Paraan 3 ng 3: Gumuhit ng isang Grap ng Mga Equation
Hakbang 1. Gawin lamang ang pamamaraang ito kapag inutusan
Maliban kung gumagamit ka ng isang computer o isang graphing calculator, ang pamamaraang ito ay maaari lamang magbigay ng tinatayang mga sagot. Maaaring sabihin sa iyo ng iyong guro o libro na gamitin ang pamamaraang ito upang masanay ang pagguhit ng mga equation bilang mga linya. Ang pamamaraang ito ay maaari ding magamit upang suriin ang sagot sa isa sa mga pamamaraan sa itaas.
Ang pangunahing ideya ay kailangan mong ilarawan ang dalawang mga equation at hanapin ang kanilang punto ng intersection. Ang halaga ng x at y sa puntong ito ng intersection ay ang sagot sa problema
Hakbang 2. Hanapin ang mga y-halaga ng parehong mga equation
Huwag pagsamahin ang dalawang equation, at baguhin ang bawat equation upang ang format ay "y = _x + _". Bilang isang halimbawa:
- Ang iyong unang equation ay 2x + y = 5. Baguhin sa y = -2x + 5.
- Ang iyong unang equation ay - 3x + 6y = 0. Baguhin sa 6y = 3x + 0, at gawing simple upang y = x + 0.
- Kung ang iyong dalawang equation ay eksaktong pareho, ang buong linya ay ang "intersection" ng dalawang equation. Sumulat walang limitasyong mga sagot bilang sagot.
Hakbang 3. Iguhit ang coordinate axes
Gumuhit ng isang patayong linya na "y-axis" at isang pahalang na "x-axis" na linya sa papel na grap. Simula sa puntong kung saan ang dalawang axes ay lumusot (0, 0), isulat ang mga label na numero 1, 2, 3, 4, at iba pa nang sunud-sunod na pagturo sa y-axis, at pagturo sa kanan sa x-axis. Pagkatapos nito, isulat ang mga label ng numero na -1, -2, at iba pa nang sunud-sunod na pagturo pababa sa y-axis, at pagturo sa kaliwa sa x-axis.
- Kung wala kang graph paper, gumamit ng isang pinuno upang matiyak na ang spacing sa pagitan ng bawat numero ay eksaktong pareho.
- Kung gumagamit ka ng malalaking numero o desimal, inirerekumenda naming i-scale ang iyong grap (hal. 10, 20, 30 o 0, 1, 0, 2, 0, 3 sa halip na 1, 2, 3).
Hakbang 4. Iguhit ang y-intercept point para sa bawat equation
Kung ang equation ay nasa form y = _x + _, maaari mong simulan ang pagguhit ng isang graph sa pamamagitan ng paggawa ng punto kung saan ang linya ng equation ay lumiliko sa y-axis. Ang halaga ng y ay palaging kapareho ng huling numero sa equation.
- Pagpapatuloy sa nakaraang halimbawa, ang unang linya (y = -2x + 5) intersect ang y-axis sa
Hakbang 5.. pangalawang linya (y = x + 0) intersect ang y-axis sa 0. (Ang mga puntong ito ay nakasulat bilang (0, 5) at (0, 0) sa grap.)
- Kung maaari, iguhit ang una at pangalawang linya na may iba't ibang mga kulay na panulat o lapis.
Hakbang 5. Gamitin ang slope upang ipagpatuloy ang linya
Sa format ng equation y = _x + _, ang numero sa harap ng x ay nagpapahiwatig ng "antas ng slope" ng linya. Sa bawat oras na x ay nadagdagan ng isa, ang halaga ng y ay tataas ng bilang ng mga antas ng slope. Gamitin ang impormasyong ito upang hanapin ang mga puntos para sa bawat linya sa grap kapag x = 1. (Maaari mo ring ipasok ang x = 1 sa bawat equation at hanapin ang halaga ng y.)
- Pagpapatuloy sa nakaraang halimbawa, ang linya y = -2x + 5 may slope ng - 2. Sa puntong x = 1, gumagalaw ang linya pababa ng 2 mula sa puntong x = 0. Gumuhit ng isang linya na kumukonekta (0, 5) sa (1, 3).
- Linya y = x + 0 may slope ng ½. Sa x = 1, gumagalaw ang linya sumakay mula sa puntong x = 0. Gumuhit ng isang linya na kumokonekta (0, 0) sa (1,).
- Kung ang dalawang linya ay may parehong slope, hindi na magkalusot ang dalawa. Kaya, ang sistemang ito ng mga equation ay walang sagot. Sumulat walang sagot bilang sagot.
Hakbang 6. Magpatuloy sa pagkonekta ng mga linya hanggang sa magsalubong ang dalawang linya
Ihinto ang trabaho at tingnan ang iyong grap. kung ang dalawang linya ay tumawid sa bawat isa, magpatuloy sa susunod na hakbang. Kung hindi, gumawa ng desisyon batay sa posisyon ng iyong dalawang linya:
- Kung ang dalawang linya ay lumalapit sa bawat isa, patuloy na ikonekta ang mga tuldok ng iyong mga guhitan.
- Kung ang dalawang linya ay lumayo mula sa bawat isa, bumalik at ikonekta ang mga tuldok sa kabaligtaran na direksyon, simula sa x = 1.
- Kung ang dalawang linya ay napakalayo, subukang tumalon at ikonekta ang mga puntos na mas malayo, halimbawa x = 10.
Hakbang 7. Hanapin ang sagot sa punto ng intersection
Matapos ang interseksyon ng dalawang linya, ang halaga ng x at y sa puntong iyon ay ang sagot sa iyong problema. Kung ikaw ay mapalad, ang sagot ay isang buong numero. Halimbawa, sa aming halimbawa ang dalawang linya ay lumusot sa puntong (2, 1) kaya ang sagot ay x = 2 at y = 1. Sa ilang mga sistema ng mga equation, ang punto kung saan ang linya ay nag-intersect ay sa pagitan ng dalawang buong numero, at kung ang grap ay hindi masyadong tumpak, mahirap na matukoy kung saan ang mga halagang x at y ay nasa punto ng intersection. Kung pinapayagan, maaari mong isulat ang "x ay nasa pagitan ng 1 at 2" bilang sagot, o gamitin ang pamalit o paraan ng pag-aalis upang makita ang sagot.
Mga Tip
- Maaari mong suriin ang iyong trabaho sa pamamagitan ng pag-plug ng mga sagot sa orihinal na equation. Kung ang equation ay naging totoo (hal. 3 = 3), nangangahulugan ito na ang iyong sagot ay tama.
- Kapag ginagamit ang pamamaraang pag-aalis, kung minsan kailangan mong i-multiply ang equation ng isang negatibong numero upang ang mga variable ay maaaring kanselahin ang bawat isa.
