3 Mga paraan upang Isaalang-alang ang Mga Equation ng Algebraic

2024 May -akda: Jason Gerald | [email protected]. Huling binago: 2024-01-15 08:25

Sa matematika, paglalagay ng kadahilanan ay isang paraan ng paghanap ng mga numero o expression na kapag pinarami ay bubuo ng isang naibigay na bilang o equation. Ang pag-iingat ay isang kapaki-pakinabang na kasanayan upang malaman upang malutas ang mga simpleng problema sa algebra; ang kakayahang salikin nang mabuti, nagiging mahalaga kapag nakikipag-usap sa mga quadratic equation at iba pang mga anyo ng polynomial. Maaaring gamitin ang factoring upang gawing simple ang mga expression ng algebraic upang gawing mas madali ang kanilang mga solusyon. Ang pagbibigay ng katotohanan ay maaaring magbigay sa iyo ng kakayahang alisin ang ilang mga posibleng sagot, mas mabilis kaysa sa paglutas ng mga ito nang manu-mano.

Hakbang

Paraan 1 ng 3: Mga Numero ng Factoring at Mga Simpleng Algebraic Expression

Hakbang 1. Maunawaan ang kahulugan ng pag-iingat ng factoring kapag inilapat sa solong mga numero

Ang pag-factor ay isang simpleng konsepto, ngunit sa pagsasagawa, maaari itong maging mahirap kapag inilapat sa mga kumplikadong equation. Samakatuwid, ito ay pinakamadaling lapitan ang konsepto ng pag-iingat ng mga bagay sa pamamagitan ng pagsisimula sa simpleng mga numero, pagkatapos ay magpatuloy sa simpleng mga equation, bago tuluyang lumipat sa mas kumplikadong mga application. Ang mga kadahilanan ng isang numero ay mga numero kung saan kapag pinarami ay gumagawa ng bilang. Halimbawa, ang mga kadahilanan ng 12 ay 1, 12, 2, 6, 3, at 4, dahil ang 1 × 12, 2 × 6, at 3 × 4 ay katumbas ng 12.

• Ang isa pang paraan upang isipin ito ay ang mga kadahilanan ng isang numero ay mga numero na maaaring hatiin nang pantay-pantay sa numero.

• Mahahanap mo ba ang lahat ng mga kadahilanan ng bilang 60? Ginagamit namin ang bilang 60 para sa iba't ibang mga layunin (minuto sa isang oras, segundo sa isang minuto, atbp.) Dahil maaari itong mahati ng maraming iba pang mga numero.

  Ang mga kadahilanan ng 60 ay 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, at 60

Hakbang 2. Maunawaan na ang mga variable na expression ay maaari ring maituring

Tulad ng mga numero sa kanilang sarili ay maaaring maiakma, ang mga variable na may mga coefficients ng numero ay maaari ding maituring. Upang gawin ito, hanapin lamang ang mga kadahilanan ng mga variable na coefficients. Alam kung paano i-factor ang isang variable ay napaka kapaki-pakinabang para sa pagpapadali ng mga equation ng algebraic na kinasasangkutan ng variable na iyon.

• Halimbawa, ang variable na 12x ay maaaring maisulat bilang produkto ng mga kadahilanan 12 at x. Maaari naming isulat ang 12x bilang 3 (4x), 2 (6x), atbp., Gamit ang alinmang mga kadahilanan ng 12 na pinakamahusay na gumagana para sa aming mga layunin.

  Maaari rin nating i-factor ang 12x ng maraming beses. Sa madaling salita, hindi namin kailangang huminto sa 3 (4x) o 2 (6x) - maaari nating i-factor ang 4x at 6x upang makabuo ng 3 (2 (2x) at 2 (3 (2x). Siyempre, ang dalawang expression na ito ay katumbas

Hakbang 3. Ilapat ang namamahagi ng pag-aari ng multiplikasyon sa mga equation ng algebraic

Gamit ang iyong kaalaman kung paano i-factor ang parehong solong mga numero at variable na may mga coefficients, maaari mong gawing simple ang mga simpleng equation ng algebraic sa pamamagitan ng paghahanap ng mga salik na ibinabahagi ng mga numero at variable sa mga equation ng algebraic. Karaniwan, upang gawing simple ang isang equation, sinusubukan naming hanapin ang pinakadakilang karaniwang kadahilanan. Ang proseso ng pagpapasimple na ito ay posible dahil sa namamahagi ng pag-aari ng multiplikasyon, na nalalapat sa anumang bilang a, b, at c. a (b + c) = ab + ac.

• Subukan natin ang isang halimbawa ng tanong. Upang maitukoy ang algebraic equation 12x + 6, una, subukang hanapin natin ang pinakadakilang kadahilanan ng 12x at 6. 6 ang pinakamalaking bilang na maaaring pantay na hatiin ang 12x at 6, upang mapadali natin ang equation sa 6 (2x + 1).
• Nalalapat din ang prosesong ito sa mga equation na may mga negatibong numero at praksiyon. Halimbawa, ang x / 2 + 4, ay maaaring gawing simple sa 1/2 (x + 8), at -7x + -21 ay maaaring isinasaalang-alang sa -7 (x + 3).

Paraan 2 ng 3: Pagtutukoy ng Quadratic Equation

Hakbang 1. Siguraduhin na ang equation ay nasa quadratic form (palakol² + bx + c = 0).

Ang mga quadratic equation ay mayroong form ax² + bx + c = 0, kung saan ang a, b, at c ay mga numero na pare-pareho at hindi katumbas ng 0 (tandaan na ang isang lata ay maaaring katumbas ng 1 o -1). Kung mayroon kang isang equation na may isang variable (x) na may isang term x sa lakas ng dalawa o higit pa, karaniwang inililipat mo ang mga term na ito sa equation gamit ang simpleng mga pagpapatakbo ng algebraic upang makakuha ng 0 sa magkabilang panig ng katumbas na pag-sign at palakol², atbp. sa kabila.

• Halimbawa, mag-isip tayo ng isang equation ng algebraic. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 ay maaaring gawing simple x² + 6x + 9 = 0, na kung saan ay ang parisukat na form.
• Ang mga equation na may mas malaking lakas ng x, tulad ng x³, x⁴, atbp. ay hindi mga quadratic equation. Ang mga equation na ito ay mga cubic equation, sa ika-apat na lakas, at iba pa, maliban kung ang simpling maaaring gawing simple upang alisin ang mga x term na ito na may mga kapangyarihan na higit sa 2.

Hakbang 2. Sa isang quadratic equation, kung saan ang isang = 1, factor sa (x + d) (x + e), kung saan d × e = c at d + e = b

Kung ang iyong quadratic equation ay nasa form x² + bx + c = 0 (sa madaling salita, kung ang coefficient ng term x² = 1), posible (ngunit hindi garantisado) na ang isang medyo madaling paraan ng maikli ay maaaring magamit upang i-factor ang equation. Humanap ng dalawang numero kung saan kapag pinarami ay ibigay c at idinagdag upang makabuo b. Matapos mong hanapin ang dalawang numero d at e, ilagay ang mga ito sa sumusunod na expression: (x + d) (x + e). Ang dalawang term na ito, kapag pinarami, ay nagbibigay sa iyo ng iyong quadratic equation - sa madaling salita, sila ang mga kadahilanan ng iyong quadratic equation.

• Halimbawa, isipin natin ang quadratic equation x² + 5x + 6 = 0. Ang 3 at 2 ay pinarami upang magbigay ng 6 at idinagdag din upang magbigay ng 5, upang mapadali natin ang equation na ito sa (x + 3) (x + 2).

• Ang kaunting pagkakaiba sa pangunahing pamamaraan ng maikli na ito ay nakasalalay sa mga pagkakaiba sa kanilang pagkakatulad:

  • Kung ang quadratic equation ay nasa form x²-bx + c, ang iyong sagot ay nasa form na ito: (x - _) (x - _).
  • Kung ang equation ay nasa form x²+ bx + c, ganito ang iyong sagot: (x + _) (x + _).
  • Kung ang equation ay nasa form x²-bx-c, ang iyong sagot ay nasa form (x + _) (x - _).
• Tandaan: ang mga numero sa mga blangko ay maaaring mga praksyon o decimal. Halimbawa, ang equation x² Ang + (21/2) x + 5 = 0 ay itinakda sa (x + 10) (x + 1/2).

Hakbang 3. Kung posible, salik sa pamamagitan ng mga tseke

Maniwala ka o hindi, para sa mga hindi kumplikadong mga quadratic equation, ang isa sa mga pinapayagang paraan ng pag-iingat ay upang suriin ang problema, pagkatapos ay isaalang-alang ang mga posibleng sagot hanggang sa makita mo ang tamang sagot. Ang pamamaraang ito ay kilala rin bilang factoring sa pamamagitan ng pagsusuri. Kung ang equation ay nasa form ax²+ bx + c at isang> 1, ang iyong factor factor ay nasa form (dx +/- _) (ex +/- _), kung saan ang d at e ay pare-pareho ng mga nonzero na numero na kapag pinarami ay nagbibigay ng a. Ang alinman sa d o e (o pareho) ay maaaring maging 1, kahit na hindi ito dapat. Kung ang pareho ay 1, karaniwang ginagamit mo ang maikling pamamaraan na inilarawan sa itaas.

Mag-isip tayo ng isang halimbawa ng problema. 3x² - Mukhang mahirap ang 8x + 4 sa una. Gayunpaman, sa sandaling mapagtanto namin na ang 3 ay may dalawang kadahilanan lamang (3 at 1), nagiging mas madali ang equation na ito sapagkat alam namin na ang aming sagot ay dapat na nasa form (3x +/- _) (x +/- _). Sa kasong ito, ang pagdaragdag ng -2 sa parehong mga blangko ay nagbibigay ng tamang sagot. -2 × 3x = -6x at -2 × x = -2x. -6x at -2x magdagdag ng hanggang sa -8x. -2 × -2 = 4, kaya maaari nating makita na ang mga terminong nabanggit sa panaklong kapag pinarami ay gumagawa ng orihinal na equation.

Hakbang 4. Malutas sa pamamagitan ng pagkumpleto ng parisukat

Sa ilang mga kaso, ang mga quadratic equation ay maaaring mabilis at madaling isinasaalang-alang gamit ang mga espesyal na pagkakakilanlan ng algebraic. Anumang quadratic equation sa form x² + 2xh + h² = (x + h)². Kaya't kung sa iyong equation ang iyong b halaga ay dalawang beses ang square root ng iyong c halaga, ang iyong equation ay maaaring factored sa (x + (root (c)))².

Halimbawa, ang equation x² + 6x + 9 ay may ganitong hugis. 3² ay 9 at 3 × 2 ay 6. Kaya, alam natin na ang factor form ng equation na ito ay (x + 3) (x + 3), o (x + 3)².

Hakbang 5. Gumamit ng mga kadahilanan upang malutas ang mga quadratic equation

Hindi alintana kung paano mo na-factored ang iyong quadratic equation, sa sandaling ang equation ay na-factored, maaari kang makahanap ng mga posibleng sagot sa halaga ng x sa pamamagitan ng paggawa ng bawat factor na katumbas ng zero at paglutas sa mga ito. Dahil hinahanap mo ang halaga ng x na ginagawang katumbas ng zero ang iyong equation, ang halaga ng x na gumagawa ng anumang kadahilanan na katumbas ng zero ay isang posibleng sagot sa iyong quadratic equation.

Bumalik tayo sa equation x² + 5x + 6 = 0. Ang equation na ito ay itinatakda sa (x + 3) (x + 2) = 0. Kung ang alinmang kadahilanan ay katumbas ng 0, ang lahat ng mga equation ay katumbas ng 0, kaya ang aming mga posibleng sagot para sa x ay mga numero- isang numero na gumagawa (x + 3) at (x + 2) pantay na 0. Ang mga bilang na ito ay -3 at -2, ayon sa pagkakabanggit.

Hakbang 6. Suriin ang iyong mga sagot - ang ilan sa mga sagot ay maaaring nakaliligaw

Kapag nakakita ka ng mga posibleng sagot para sa x, isumbalik ang mga ito sa iyong orihinal na equation upang makita kung ang sagot ay tama. Minsan, ang mga sagot na mahahanap mo ay hindi ginagawa ang orihinal na equation na katumbas ng zero kapag muling inilagay. Tinawag namin itong sagot na deviant at hindi ito pinapansin.

• Ilagay natin ang -2 at -3 sa x² + 5x + 6 = 0. Una, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Tama ang sagot na ito, kaya -2 ang tamang sagot.

• Ngayon, subukan natin -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Tama rin ang sagot na ito, kaya -3 ang tamang sagot.

Paraan 3 ng 3: Pag-factor ng Iba Pang Mga Equation

Hakbang 1. Kung ang equation ay ipinahayag sa form a²-b², salik sa (a + b) (a-b).

Ang mga equation na may dalawang variable ay may iba't ibang mga kadahilanan kaysa sa pangunahing equation ng quadratic. Para sa equation a²-b² anumang bagay kung saan ang a at b ay hindi katumbas ng 0, ang mga kadahilanan ng equation ay (a + b) (a-b).

Halimbawa, ang equation 9x² - 4y² = (3x + 2y) (3x - 2y).

Hakbang 2. Kung ang equation ay ipinahayag sa form a²+ 2ab + b², factor sa (a + b)².

Tandaan na, kung ang trinomial ay nasa form a²-2ab + b², ang mga kadahilanan ng form ay bahagyang magkakaiba: (a-b)².

4x. Equation² + 8xy + 4y² maaaring muling isulat bilang 4x² + (2 × 2 × 2) xy + 4y². Ngayon, maaari nating makita na ang form ay tama, kaya maaari nating siguraduhin na ang mga kadahilanan ng aming equation ay (2x + 2y)²

Hakbang 3. Kung ang equation ay ipinahayag sa form a³-b³, salik sa (a-b) (a²+ ab + b²).

Sa wakas, nabanggit na na ang mga cubic equation at kahit na ang mas mataas na kapangyarihan, ay maaaring maging factored, kahit na ang proseso ng factoring ay mabilis na naging napaka-kumplikado.

Halimbawa, 8x³ - 27y³ itinuro sa (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

Mga Tip

• a²-b² maaaring maituro, a²+ b² hindi maituturo.
• Tandaan kung paano i-factor ang isang pare-pareho. Maaari itong makatulong.
• Mag-ingat sa mga praksiyon sa proseso ng pag-iingat ng mga bagay at gumana nang may tama at maingat sa mga praksyon.
• Kung mayroon kang isang trinomial ng form x²+ bx + (b / 2)², ang form factor ay (x + (b / 2))². (Maaari mong makatagpo ang sitwasyong ito kapag nakumpleto ang parisukat.)
• Tandaan na a0 = 0 (ang pag-aari ng produkto ng zero).