Ang form ng ugat ay isang pahayag ng algebraic na mayroong tanda ng square root (o cube root o mas mataas). Ang form na ito ay madalas na kumakatawan sa dalawang mga numero na may parehong halaga kahit na maaari silang lumitaw na magkakaiba sa unang tingin (halimbawa, 1 / (sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Samakatuwid, kailangan namin ng isang "karaniwang pormula" para sa ganitong uri ng form. Kung mayroong dalawang pahayag, kapwa sa karaniwang formula, na lilitaw na magkakaiba, hindi sila pareho. Sumasang-ayon ang mga matematiko na ang pamantayang pagbabalangkas ng quadratic form ay natutupad ang mga sumusunod na kinakailangan:
- Iwasang gumamit ng mga praksiyon
- Huwag gumamit ng mga lakas na praksyonal
- Iwasang gamitin ang root form sa denominator
- Hindi naglalaman ng pagdaragdag ng dalawang mga form ng ugat
- Ang mga numero sa ilalim ng ugat ay hindi na maaaring ma-root
Ang isang praktikal na paggamit nito ay sa maraming mga pagsusulit sa pagpili. Kapag nakakita ka ng isang sagot, ngunit ang iyong sagot ay hindi pareho ng mga magagamit na pagpipilian, subukang gawing simple ito sa isang karaniwang formula. Dahil ang mga gumagawa ng tanong ay karaniwang nagsusulat ng mga sagot sa karaniwang mga formula, gawin ang pareho sa iyong mga sagot upang tumugma sa kanila. Sa mga tanong sa sanaysay, ang mga utos tulad ng "gawing simple ang iyong sagot" o "gawing simple ang lahat ng mga ugat" ay nangangahulugang dapat isagawa ng mga mag-aaral ang mga sumusunod na hakbang hanggang sa matugunan nila ang karaniwang pormula tulad ng nasa itaas. Ang hakbang na ito ay maaari ding magamit upang malutas ang mga equation, bagaman ang ilang mga uri ng mga equation ay mas madaling lutasin sa mga hindi pamantayang pormula.
Hakbang
Hakbang 1. Kung kinakailangan, suriin ang mga patakaran para sa pagpapatakbo ng mga ugat at exponents (pareho ang pantay - ang mga ugat ay kapangyarihan ng mga praksiyon) tulad ng kailangan natin sa prosesong ito
Suriin din ang mga patakaran para sa pagpapagaan ng mga polynomial at mga makatuwirang porma dahil kakailanganin naming gawing simple ang mga ito.
Paraan 1 ng 6: Perpektong mga Kwadro
Hakbang 1. Pasimplehin ang lahat ng mga ugat na naglalaman ng mga perpektong parisukat
Ang isang perpektong parisukat ay ang produkto ng isang numero nang nag-iisa, halimbawa 81, na isang produkto ng 9 x 9. Upang gawing simple ang isang perpektong parisukat, alisin lamang ang square root at isulat ang square root ng numero.
- Halimbawa, ang 121 ay isang perpektong parisukat dahil ang 11 x 11 ay katumbas ng 121. Kaya, maaari mong gawing simple ang ugat (121) hanggang 11, sa pamamagitan ng pag-aalis ng root sign.
- Upang gawing mas madali ang hakbang na ito, kakailanganin mong tandaan ang unang labindalawang perpektong mga parisukat: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Hakbang 2. Pasimplehin ang lahat ng mga ugat na naglalaman ng mga perpektong cube
Ang isang perpektong kubo ay ang produkto ng pagpaparami ng isang numero sa pamamagitan ng kanyang sarili nang dalawang beses, halimbawa 27, na kung saan ay ang produkto ng 3 x 3 x 3. Upang gawing simple ang root form ng isang perpektong kubo, alisin lamang ang square root at isulat ang square root ng bilang.
Halimbawa, ang 343 ay isang perpektong cube sapagkat ito ay produkto ng 7 x 7 x 7. Kaya't ang cube root ng 343 ay 7
Paraan 2 ng 6: Pag-convert ng Mga Fraksyon sa Mga Roots
O binabago ang iba pang paraan (nakakatulong ito minsan), ngunit huwag ihalo ang mga ito sa parehong pahayag bilang ugat (5) + 5 ^ (3/2). Ipagpalagay namin na nais mong gamitin ang root form at gagamitin namin ang mga simbolo ng ugat (n) para sa square root at sqrt ^ 3 (n) para sa cube root.
Hakbang 1. Dalhin ang isa sa lakas ng maliit na bahagi at i-convert ito sa form ng ugat, halimbawa x ^ (a / b) = ugat sa b lakas ng x ^ a
Kung ang square root ay nasa maliit na form, i-convert ito sa regular na form. Halimbawa, square root (2/3) ng 4 = root (4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8
Hakbang 2. I-convert ang mga negatibong exponent sa mga praksyon, halimbawa x ^ -y = 1 / x ^ y
Nalalapat lamang ang pormula na ito sa pare-pareho at makatuwiran na mga tagapagpapakita. Kung nakikipag-usap ka sa isang form tulad ng 2 ^ x, huwag baguhin ito, kahit na ipahiwatig ng problema na ang x ay maaaring isang maliit o isang negatibong numero
Hakbang 3. Pagsamahin ang parehong tribo at gawing simple ang nagresultang makatuwirang porma.
Paraan 3 ng 6: Pag-aalis ng mga Fraksyon sa Mga Roots
Kinakailangan ng karaniwang pormula na ang ugat ay maging isang integer.
Hakbang 1. Tingnan ang numero sa ilalim ng square root kung naglalaman pa rin ito ng isang maliit na bahagi
Kung pa,…
Hakbang 2. Baguhin sa isang maliit na bahagi na binubuo ng dalawang mga ugat gamit ang root ng pagkakakilanlan (a / b) = sqrt (a) / sqrt (b)
Huwag gamitin ang pagkakakilanlan na ito kung ang denominator ay negatibo, o kung ito ay isang variable na maaaring negatibo. Sa kasong ito, gawing simple ang maliit na bahagi
Hakbang 3. Pasimplehin ang bawat perpektong parisukat ng resulta
Iyon ay, i-convert ang sqrt (5/4) sa sqrt (5) / sqrt (4), pagkatapos ay gawing simple sa sqrt (5) / 2.
Hakbang 4. Gumamit ng iba pang mga pamamaraan ng pagpapasimple tulad ng pagpapasimple ng mga kumplikadong praksyon, pagsasama ng pantay na mga termino, atbp
Paraan 4 ng 6: Pagsasama-sama ng Mga Roots ng Pagpaparami
Hakbang 1. Kung nagpaparami ka ng isang ugat na form sa isa pa, pagsamahin ang dalawa sa isang parisukat na ugat gamit ang pormula:
sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab). Halimbawa, palitan ang ugat (2) * ugat (6) sa ugat (12).
- Ang pagkakakilanlan sa itaas, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab), ay wasto kung ang numero sa ilalim ng pag-sign ng sqrt ay hindi negatibo. Huwag gamitin ang formula na ito kapag ang a at b ay negatibo dahil magkakamali ka sa paggawa ng sqrt (-1) * sqrt (-1) = sqrt (1). Ang pahayag sa kaliwa ay katumbas ng -1 (o hindi natukoy kung hindi ka gumagamit ng mga kumplikadong numero) habang ang pahayag sa kanan ay +1. Kung ang a at / o b ay negatibo, "baguhin" muna ang sign tulad ng sqrt (-5) = i * sqrt (5). Kung ang form sa ilalim ng root sign ay isang variable na ang pag-sign ay hindi kilala mula sa konteksto o maaaring maging positibo o negatibo, iwanan ito tulad ng sa kasalukuyang panahon. Maaari mong gamitin ang mas pangkalahatang pagkakakilanlan, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (sgn (a)) * sqrt (sgn (b)) * sqrt (| ab |) na nalalapat sa lahat ng totoong mga numero a at b, ngunit kadalasan ang formula na ito ay hindi masyadong makakatulong sapagkat nagdaragdag ito ng pagiging kumplikado sa paggamit ng sgn (signum) na pagpapaandar.
- Ang pagkakakilanlan na ito ay may bisa lamang kung ang mga anyo ng mga ugat ay may parehong exponent. Maaari mong i-multiply ang iba't ibang mga square root tulad ng sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) sa pamamagitan ng pag-convert sa kanila sa parehong square root. Upang gawin ito, pansamantalang i-convert ang square root sa isang maliit na bahagi: sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6). Pagkatapos ay gamitin ang panuntunan sa pagpaparami upang maparami ang dalawa sa parisukat na ugat ng 6125.
Paraan 5 ng 6: Pag-alis ng Square Factor mula sa Root
Hakbang 1. Pagkakalagay ng hindi perpektong mga ugat sa pangunahing mga kadahilanan
Ang isang kadahilanan ay isang numero na kapag pinarami ng isa pang numero ay bumubuo ng isang numero - halimbawa, 5 at 4 ay dalawang mga kadahilanan ng 20. Upang masira ang hindi perpektong mga ugat, isulat ang lahat ng mga kadahilanan ng numero (o hangga't maaari, kung ang bilang ay masyadong malaki) hanggang sa makahanap ka ng isang perpektong parisukat.
Halimbawa, subukang hanapin ang lahat ng mga kadahilanan ng 45: 1, 3, 5, 9, 15, at 45. 9 ay isang kadahilanan ng 45 at ito rin ay isang perpektong parisukat (9 = 3 ^ 2). 9 x 5 = 45
Hakbang 2. Alisin ang lahat ng mga multiplier na perpektong mga parisukat mula sa loob ng parisukat na ugat
Ang 9 ay isang perpektong parisukat sapagkat ito ay produkto ng 3 x 3. Kunin ang 9 mula sa square root at palitan ito ng 3 sa harap ng square root, naiwan ang 5 sa loob ng square root. Kung "ibabalik" mo ang 3 sa parisukat na ugat, i-multiply nang mag-isa upang makagawa ng 9, at kung magpaparami ng 5 babalik ito ng 45. Ang 3 ugat ng 5 ay isang simpleng paraan ng pagpapahayag ng ugat ng 45.
Iyon ay, sqrt (45) = sqrt (9 * 5) = sqrt (9) * sqrt (5) = 3 * sqrt (5)
Hakbang 3. Hanapin ang perpektong parisukat sa variable
Ang parisukat na ugat ng isang parisukat ay | a |. Maaari mong gawing simple ito sa "a" lamang kung ang kilalang variable ay positibo. Ang parisukat na ugat ng a hanggang sa lakas ng 3 kapag pinaghiwalay sa parisukat na ugat ng isang parisukat na beses a - tandaan na ang mga exponente ay nagdaragdag kapag pinarami namin ang dalawang numero sa lakas ng a, kaya ang isang parisukat na beses na katumbas ng a pangatlong kapangyarihan.
Samakatuwid, ang isang perpektong parisukat sa form na isang cubed ay isang parisukat
Hakbang 4. Alisin ang variable na naglalaman ng perpektong parisukat mula sa square root
Ngayon, kumuha ng isang parisukat mula sa parisukat na ugat at baguhin ito sa | a |. Ang simpleng form ng root a hanggang sa lakas ng 3 ay | a | ugat a.
Hakbang 5. Pagsamahin ang pantay na mga termino at gawing simple ang lahat ng mga ugat ng mga resulta sa pagkalkula
Paraan 6 ng 6: Rationalize the Denominator
Hakbang 1. Kinakailangan ng karaniwang pormula na ang denominator ay maging isang integer (o isang polynomial kung naglalaman ito ng isang variable) hangga't maaari
-
Kung ang denominator ay binubuo ng isang term sa ilalim ng root sign, tulad ng […] / root (5), pagkatapos ay i-multiply ang parehong bilang at denominator ng ugat na iyon upang makuha ang […] * sqrt (5) / sqrt (5) * sqrt (5) = […] * ugat (5) / 5.
Para sa mga ugat ng cube o mas mataas, i-multiply ng naaangkop na ugat upang ang denominator ay makatuwiran. Kung ang denominator ay root ^ 3 (5), paramihin ang numerator at denominator ng sqrt ^ 3 (5) ^ 2
-
Kung ang denominator ay binubuo ng pagdaragdag o pagbabawas ng dalawang parisukat na ugat tulad ng sqrt (2) + sqrt (6), i-multiply ang quantifier at denominator ng kanilang conjugate, na magkatulad na form ngunit may kasalungat na sign. Pagkatapos […] / (root (2) + root (6)) = […] (root (2) -root (6)) / (root (2) + root (6)) (root (2) -root (6)). Pagkatapos gamitin ang pormula ng pagkakakilanlan para sa pagkakaiba ng dalawang mga parisukat [(a + b) (ab) = a ^ 2-b ^ 2] upang maituwiran ang denominator, upang gawing simple (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2) ^ 2 - sqrt (6) ^ 2 = 2-6 = -4.
- Nalalapat din ito sa mga denominator tulad ng 5 + sqrt (3) dahil ang lahat ng mga integer ay mga ugat ng iba pang mga integer. [1 / (5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 ^ 2-sqrt (3) ^ 2) = (5-sqrt (3)) / (25-3) = (5-sqrt (3)) / 22]
- Nalalapat din ang pamamaraang ito sa pagdaragdag ng mga ugat tulad ng sqrt (5) -sqrt (6) + sqrt (7). Kung pinangkat mo ang mga ito sa (sqrt (5) -sqrt (6)) + sqrt (7) at i-multiply ng (sqrt (5) -sqrt (6)) - sqrt (7), ang sagot ay hindi nasa makatuwirang porma, ngunit nasa isang + b * ugat (30) kung saan ang a at b ay mayroon nang mga makatuwirang numero. Pagkatapos ulitin ang proseso sa mga conjugates na isang + b * sqrt (30) at (a + b * sqrt (30)) (a-b * sqrt (30)) ay makatuwiran. Sa esensya, kung magagamit mo ang trick na ito upang alisin ang isang root sign sa denominator, maaari mo itong ulitin nang maraming beses upang alisin ang lahat ng mga ugat.
- Ang pamamaraang ito ay maaari ding gamitin para sa mga denominator na naglalaman ng isang mas mataas na ugat, tulad ng ika-apat na ugat ng 3 o ang ikapitong ugat ng 9. I-multiply ang numerator at denominator ng conjugate ng denominator. Sa kasamaang palad, hindi namin direktang makuha ang conjugate ng denominator at mahirap gawin iyon. Mahahanap natin ang sagot sa isang libro sa algebra tungkol sa teorya ng numero, ngunit hindi ko ito papasukin.
Hakbang 2. Ngayon ang denominator ay nasa makatuwiran na form, ngunit ang numerator ay mukhang isang gulo
Ngayon ang kailangan mo lang gawin ay i-multiply ito sa pamamagitan ng conjugate ng denominator. Sige at magparami tulad ng pareparehas namin ng mga polynomial. Suriin upang makita kung may mga term na maaaring alisin, gawing simple, o pagsamahin, kung maaari.
Hakbang 3. Kung ang denominator ay isang negatibong integer, paramihin ang parehong bilang at bilang ng -1 upang gawin itong positibo
Mga Tip
- Maaari kang maghanap sa online para sa mga site na makakatulong na gawing simple ang mga root form. I-type lamang ang equation sa root sign, at pagkatapos ng pagpindot sa Enter, lilitaw ang sagot.
- Para sa mas simpleng mga katanungan, maaaring hindi mo magamit ang lahat ng mga hakbang sa artikulong ito. Para sa mas kumplikadong mga katanungan, maaaring kailanganin mong gumamit ng maraming mga hakbang nang higit sa isang beses. Gumamit ng mga "simpleng" hakbang nang ilang beses, at suriin upang malaman kung umaangkop ang iyong sagot sa karaniwang pamantayan sa pagbabalangkas na tinalakay namin kanina. Kung ang iyong sagot ay nasa karaniwang pormula, tapos ka na; ngunit kung hindi, maaari mong suriin ang isa sa mga hakbang sa itaas upang matulungan kang matapos ito.
- Karamihan sa mga sanggunian sa "inirekumendang karaniwang pormula" para sa anyo ng mga ugat ay nalalapat din sa mga kumplikadong numero (i = ugat (-1)). Kahit na ang isang pahayag ay naglalaman ng isang "i" sa halip na isang ugat, iwasan ang mga denominator na naglalaman pa rin ng isang i hangga't maaari.
- Ang ilan sa mga tagubilin sa artikulong ito ay ipinapalagay na ang lahat ng mga ugat ay parisukat. Nalalapat ang parehong mga pangkalahatang prinsipyo sa mga ugat ng mas mataas na kapangyarihan, bagaman ang ilang bahagi (lalo na ang pagpapangatuwiran sa denominator) ay maaaring maging mahirap upang gumana. Magpasya para sa iyong sarili kung anong hugis ang nais mo, tulad ng sqr ^ 3 (4) o sqr ^ 3 (2) ^ 2. (Hindi ko matandaan kung anong form ang karaniwang iminungkahi sa mga aklat-aralin).
- Ang ilan sa mga tagubilin sa artikulong ito ay gumagamit ng salitang "karaniwang pormula" upang ilarawan ang "regular na form". Ang pagkakaiba ay ang karaniwang pormula ay tumatanggap lamang ng form na 1 + sqrt (2) o sqrt (2) +1 at isinasaalang-alang ang iba pang mga form bilang hindi pamantayan; Ipinapalagay ng form na malinaw na ikaw, ang mambabasa, ay sapat na matalino upang makita ang "pagkakapareho" ng dalawang bilang na ito kahit na hindi sila magkapareho sa pagsulat ('pareho' na ibig sabihin sa kanilang arithmetical na ari-arian (commutative karagdagan), hindi ang kanilang algebraic na ari-arian (ugat (2) ang ugat na hindi negatibo ng x ^ 2-2)). Inaasahan namin na mauunawaan ng mga mambabasa ang kaunting kawalang-ingat sa paggamit ng terminolohiya na ito.
- Kung ang alinman sa mga pahiwatig ay mukhang hindi sigurado o salungat, gawin ang lahat ng mga hakbang na hindi sigurado at pare-pareho, at pagkatapos ay piliin ang alinmang hugis na gusto mo.
