Kapag una mong natagpuan ang cubic equation (na nasa form ax 3 + bx 2 + cx + d = 0), marahil sa palagay mo ay mahihirapang lutasin ang problema. Ngunit alamin na ang paglutas ng mga cubic equation ay talagang nasa paligid ng daang siglo! Ang solusyon na ito, na natuklasan ng Italyanong matematiko na sina Niccolò Tartaglia at Gerolamo Cardano noong 1500s, ay isa sa mga unang pormula na kilala sa sinaunang Greece at Rome. Ang paglulutas ng mga cubic equation ay maaaring medyo mahirap, ngunit sa tamang diskarte (at sapat na kaalaman), kahit na ang pinakamahirap na mga cubic equation ay malulutas.
Hakbang
Paraan 1 ng 3: Paglutas ng Paggamit ng Mga Quadratic Equation
Hakbang 1. Suriin kung ang iyong cubic equation ay may pare-pareho
Tulad ng nakasaad sa itaas, ang form ng cubic equation ay palakol 3 + bx 2 + cx + d = 0. b, c, at ang halaga ng d ay maaaring 0 nang hindi naaapektuhan ang anyo ng cubic equation na ito; karaniwang nangangahulugan ito na ang cubic equation ay hindi laging kailangang isama ang halaga ng bx 2, cx, o d upang maging isang cubic equation. Upang simulang gamitin ang medyo madaling paraan ng paglutas ng mga equation na cubic, suriin upang makita kung ang iyong cubic equation ay may pare-pareho (o isang halaga ng d). Kung ang iyong equation ay walang pare-pareho o halaga para sa d, pagkatapos ay maaari mong gamitin ang isang quadratic equation upang mahanap ang sagot sa cubic equation pagkatapos ng ilang mga hakbang.
Sa kabilang banda, kung ang iyong equation ay may pare-parehong halaga, kakailanganin mo ng isa pang solusyon. Tingnan ang mga hakbang sa ibaba para sa iba pang mga diskarte
Hakbang 2. Isaalang-alang ang x halaga mula sa cubic equation
Dahil ang iyong equation ay walang pare-pareho na halaga, ang lahat ng mga bahagi dito ay may variable x. Nangangahulugan ito na ang halagang ito ng x ay maaaring maituring sa labas ng equation upang gawing simple ito. Gawin ang hakbang na ito at isulat muli ang iyong cubic equation sa form x (palakol 2 + bx + c).
Halimbawa, sabihin nating ang orihinal na cubic equation dito ay 3 x 3 + -2 x 2 + 14 x = 0. Sa pamamagitan ng pag-iingat ng isang variable x mula sa equation na ito, nakukuha namin ang equation x (3 x 2 + -2 x + 14) = 0.
Hakbang 3. Gumamit ng mga quadratic equation upang malutas ang mga equation sa mga braket
Maaari mong mapansin na ang ilan sa iyong mga bagong equation, na nakapaloob sa panaklong, ay nasa anyo ng isang quadratic equation (palakol 2 + bx + c). Nangangahulugan ito na mahahanap natin ang halagang kinakailangan upang gawin ang equation na ito na katumbas ng zero sa pamamagitan ng pag-plug ng a, b, at c sa quadratic equation formula ({- b +/- √ (b 2- 4 ac)} / 2 a). Gawin ang mga kalkulasyon na ito upang makahanap ng dalawang mga sagot sa iyong cubic equation.
-
Sa aming halimbawa, isaksak ang mga halaga ng a, b, at c (3, -2, at 14, ayon sa pagkakabanggit) sa quadratic equation tulad ng sumusunod:
-
- {- b +/- √ (b 2- 4 ac)} / 2 a
- {-(-2) +/-√ ((-2)2- 4(3)(14))}/2(3)
- {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
- {2 +/-√ (4 - (168)}/6
- {2 +/-√ (-164)}/6
-
-
Sagot 1:
-
- {2 + √(-164)}/6
- {2 + 12.8 i} / 6
-
-
Sagot 2:
-
- {2 - 12.8 i} / 6
-
Hakbang 4. Gumamit ng mga zero at ang iyong sagot sa iyong quadratic equation bilang iyong sagot sa iyong cubic equation
Ang mga quadratic equation ay magkakaroon ng dalawang sagot, samantalang ang mga equic na cubic ay may tatlong mga sagot. Alam mo na ang dalawang sagot mula sa tatlo; na nakukuha mo mula sa "parisukat" na bahagi ng equation sa mga braket. Kung ang iyong cubic equation ay maaaring malutas ng "factorization" tulad nito, ang iyong pangatlong sagot ay halos palaging 0. Ligtas! Nalutas mo lang ang isang cubic equation.
Ang dahilan kung bakit gumagana ang pamamaraang ito ay ang pangunahing katotohanan na "ang anumang bilang na pinarami ng zero ay katumbas ng zero". Kapag itinuro mo ang iyong equation sa form x (ax 2 + bx + c) = 0, karaniwang hinati mo lamang ito sa dalawang "bahagi"; ang isang bahagi ay ang variable ng x sa kaliwang bahagi at ang iba pang bahagi ay ang quadratic equation sa mga braket. Kung ang isa sa dalawang bahagi na ito ay zero, kung gayon ang buong equation ay magiging zero din. Kaya, ang dalawang sagot sa quadratic equation sa panaklong, na gagawing zero, ay ang mga sagot sa cubic equation, pati na rin 0 mismo - na gagawing zero din ang bahagi sa kaliwang bahagi.
Paraan 2 ng 3: Paghahanap ng Mga Sagot sa Integer Gamit ang isang Listahan ng Kadahilanan
Hakbang 1. Siguraduhin na ang iyong cubic equation ay may pare-parehong halaga
Habang ang mga pamamaraan na inilarawan sa itaas ay medyo madaling gamitin dahil hindi mo kailangang malaman ang isang bagong diskarte sa pagkalkula upang magamit ang mga ito, hindi ka nila laging matutulungan na malutas ang mga cubic equation. Kung ang iyong cubic equation ay ng form ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, kung saan ang halaga ng d ay hindi katumbas ng zero, ang pamamaraan na "factorization" sa itaas ay hindi gagana, kaya kakailanganin mong gamitin ang isa sa mga pamamaraan sa seksyong ito upang malutas ito.
Halimbawa, sabihin nating mayroon tayong equation 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = -6. Sa kasong ito, upang makakuha ng zero sa kanang bahagi ng equation, dapat kaming magdagdag ng 6 sa magkabilang panig. Pagkatapos nito, makakakuha kami ng isang bagong equation 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0, na may halagang d = 6, kaya hindi namin magagamit ang pamamaraang "factorization" tulad ng nakaraang pamamaraan.
Hakbang 2. Hanapin ang mga salik ng a at d
Upang malutas ang iyong cubic equation, magsimula sa pamamagitan ng paghahanap ng kadahilanan ng isang (ang koepisyent ng x 3) at d (ang patuloy na halaga sa dulo ng equation). Tandaan, ang mga kadahilanan ay mga numero na maaaring maparami ng bawat isa upang makabuo ng isang tiyak na numero. Halimbawa, dahil maaari kang makakuha ng 6 sa pamamagitan ng pagpaparami ng 6 × 1 at 2 × 3, 1, 2, 3, at 6 ay mga kadahilanan ng 6.
-
Sa halimbawa ng problemang ginagamit namin, a = 2 at d = 6. Ang kadahilanan ng 2 ay 1 at 2. Habang ang kadahilanan ng 6 ay 1, 2, 3, at 6.
Hakbang 3. Hatiin ang salik a sa salik ng d
Susunod, ilista ang mga halagang nakukuha mo sa pamamagitan ng paghahati ng bawat kadahilanan ng a sa bawat kadahilanan ng d. Ang pagkalkula na ito ay karaniwang nagreresulta sa maraming mga halaga ng praksyonal at maraming buong numero. Ang integer na halaga upang malutas ang iyong cubic equation ay isa sa mga integer na nakuha mula sa pagkalkula.
Sa aming equation, hatiin ang factor factor ng a (1, 2) sa factor ng d (1, 2, 3, 6) at kunin ang mga sumusunod na resulta: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, at 2/3. Susunod, magdagdag ng mga negatibong halaga sa listahan, at makukuha namin ang: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, at -2/3. Ang sagot sa cubic equation - na isang integer, ay nasa listahan.
Hakbang 4. Gumamit ng synthetic division upang manu-manong suriin ang iyong mga sagot
Kapag mayroon kang isang listahan ng mga halagang tulad ng isa sa itaas, maaari mong tingnan ang mga halaga ng integer na mga sagot sa iyong cubic equation sa pamamagitan ng manu-manong pagpasok ng bawat integer, at hanapin kung aling halaga ang nagbabalik sa zero. Gayunpaman, kung hindi mo nais na gugulin ang oras sa paggawa nito, mayroong isang paraan upang gawin ito nang mas mabilis, lalo na sa isang pagkalkula na tinatawag na synthetic division. Karaniwan, hahatiin mo ang iyong halaga ng integer ng mga orihinal na coefficients ng a, b, c, at d sa iyong cubic equation. Kung ang natitira ay zero, kung gayon ang halagang iyon ay isa sa mga sagot sa iyong cubic equation.
-
Ang pagbubuo ng sintetiko ay isang kumplikadong paksa - tingnan ang link sa ibaba para sa karagdagang impormasyon. Narito ang isang halimbawa ng kung paano makahanap ng isa sa mga sagot sa iyong cubic equation na may synthetic division:
-
- -1 | 2 9 13 6
- _| -2-7-6
- _| 2 7 6 0
- Dahil nakukuha namin ang huling resulta na katumbas ng 0, alam namin na ang isa sa mga integer na sagot sa aming cubic equation ay - 1.
-
Paraan 3 ng 3: Paggamit ng Discriminant Approach
Hakbang 1. Isulat ang mga equation a, b, c, at d
Upang mahanap ang sagot sa cubic equation sa ganitong paraan, gagawin namin ang maraming mga kalkulasyon sa mga coefficients sa aming equation. Dahil dito, magandang ideya na tandaan ang mga halaga ng a, b, c, at d bago mo kalimutan ang alinman sa mga halaga.
Halimbawa, para sa equation x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1, isulat ito bilang isang = 1, b = -3, c = 3, at d = -1. Huwag kalimutan na kapag ang variable x ay walang coefficient, ang halaga nito ay 1.
Hakbang 2. Kalkulahin ang 0 = b 2 - 3 aircon.
Ang diskriminanteng diskarte sa paghahanap ng mga sagot sa mga equic na cubic ay nangangailangan ng mga kumplikadong kalkulasyon, ngunit kung susundin mong mabuti ang mga hakbang, maaaring maging napaka kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga equation na cubic na mahirap malutas sa ibang mga paraan. Upang magsimula, hanapin ang halaga ng 0, na kung saan ay ang unang makabuluhang halaga ng maraming kailangan namin, na isinasama ang naaangkop na halaga sa pormula b 2 - 3 aircon.
-
Sa halimbawang ginagamit namin, malulutas namin ito tulad ng sumusunod:
-
- b 2 - 3 ac
- (-3)2 - 3(1)(3)
- 9 - 3(1)(3)
- 9 - 9 = 0 = 0
-
Hakbang 3. Kalkulahin ang 1 = 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d.
Ang susunod na makabuluhang halagang kailangan namin, 1, ay nangangailangan ng mas mahabang pagkalkula, ngunit maaaring matagpuan sa parehong paraan tulad ng 0. I-plug ang naaangkop na halaga sa pormula 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d upang makuha ang halaga ng 1.
-
Sa halimbawang ito, nilulutas namin ito tulad ng sumusunod:
-
- 2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
- 2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
- -54 + 81 - 27
- 81 - 81 = 0 = 1
-
Hakbang 4. Kalkulahin = 12 - 4Δ03) -27 a 2.
Susunod, kinakalkula namin ang halagang "discriminant" ng mga halagang 0 at 1. Ang diskriminante ay isang numero na magbibigay sa iyo ng impormasyon tungkol sa ugat ng polynomial (maaaring hindi mo namalayang kabisado ang quadratic discriminant formula: b 2 - 4 na aircon). Sa kaso ng isang cubic equation, kung positibo ang halaga ng diskriminante, kung gayon ang equation ay mayroong tatlong totoong mga sagot sa bilang. Kung ang diskriminanteng halaga ay katumbas ng zero, kung gayon ang equation ay may isa o dalawang tunay na bilang na mga sagot, at ang ilan sa mga sagot ay may parehong halaga. Kung ang halaga ay negatibo, pagkatapos ang equation ay may isang tunay na numero lamang na sagot, dahil ang graph ng equation ay palaging intersect ang x-axis kahit isang beses.)
-
Sa halimbawang ito, mula sa parehong 0 at 1 = 0, ang paghahanap ng halaga ng ay napakadali. Kailangan lamang nating kalkulahin ito sa sumusunod na paraan:
-
- 12 - 4Δ03) -27 a 2
- (0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2
- 0 - 0 ÷ 27
- 0 =, kaya ang aming equation ay may 1 o 2 mga sagot.
-
Hakbang 5. Kalkulahin ang C = 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1) / 2).
Ang huling halagang mahalaga na makuha natin ay ang halaga ng C. Pinapayagan kami ng halagang ito na makuha ang lahat ng tatlong mga ugat ng aming cubic equation. Malutas tulad ng dati, i-plug ang mga halaga ng 1 at 0 sa formula.
-
Sa halimbawang ito, makukuha natin ang halaga ng C sa pamamagitan ng:
-
- 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1) / 2)
- 3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)
- 3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
- 0 = C
-
Hakbang 6. Kalkulahin ang tatlong mga ugat ng equation sa iyong variable
Ang ugat (sagot) ng iyong cubic equation ay natutukoy ng formula (b + u C + (Δ0 / u C)) / 3 a, kung saan ang u = (-1 + (-3)) / 2 at n ay katumbas ng 1, 2, o 3. I-plug ang iyong mga halaga sa formula upang malutas ang mga ito - maaaring may ilang mga kalkulasyon na kailangan mong gawin, ngunit dapat mong makuha ang lahat ng tatlo sa iyong mga sagot sa equation na cubic!
-
Sa halimbawang ito, maaari naming malutas ito sa pamamagitan ng pag-check sa mga sagot kapag katumbas ng 1, 2, at 3. Ang sagot na nakukuha namin mula sa pagkalkula na ito ay ang posibleng sagot sa aming equic na cubic - anumang halaga na na-plug sa cubic equation at binibigyan nito ang parehong resulta. sa 0, ay ang tamang sagot. Halimbawa, kung nakakakuha kami ng isang sagot na katumbas ng 1 kung sa isa sa aming mga eksperimento sa pagkalkula, isaksak ang halagang 1 sa equation x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 nagbubunga ng huling resulta na katumbas ng 0. Sa gayon
Hakbang 1. ay isa sa mga sagot sa aming cubic equation.
