Ang isang vector ay isang pisikal na dami na parehong may lakas at direksyon (hal. Bilis, pagbilis, at pag-aalis), taliwas sa isang skalar na binubuo lamang ng lakas (hal. Bilis, distansya, o enerhiya). Kung ang mga scalar ay maaaring maidagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga magnitude (hal. 5 kJ work plus 6 kJ work ay katumbas ng 11 kJ work), ang mga vector ay medyo nakakalito upang idagdag o ibawas. Tingnan ang Hakbang 1 sa ibaba upang malaman ang ilang mga paraan upang magdagdag o magbawas ng mga vector.
Hakbang
Paraan 1 ng 3: Pagdaragdag at Pagbabawas ng Mga Vector na Kilala ang Mga Bahagi
Hakbang 1. Isulat ang mga dimensional na bahagi ng vector sa notasyong vector
Dahil ang mga vector ay may lakas at direksyon, kadalasan maaari silang hatiin sa mga bahagi batay sa sukat na x, y, at / o z. Ang mga sukat na ito ay karaniwang nakasulat sa isang katulad na notasyon upang ilarawan ang isang punto sa isang coordinate system (hal at iba pa). Kung alam mo ang bahaging ito, ang pagdaragdag o pagbabawas ng mga vector ay napakadali, idagdag o ibawas lamang ang kanilang mga coordinate na x, y, at z.
- Pansinin kung ang mga sukat ng vector ay 1, 2, o 3. Sa gayon, ang vector ay maaaring may mga sangkap x, x at y, o x, y, at z. Ang aming sumusunod na halimbawa ay gumagamit ng isang 3-dimensional na vector, ngunit ang proseso ay tulad ng isang 1- o 2-dimensional na vector.
- Ipagpalagay na mayroon kaming dalawang mga 3-dimensional na vector, vector A at vector B. Maaari nating isulat ang mga vector na ito gamit ang vector notation tulad ng A = at B =, kung saan ang a1 at a2 ay x sangkap, b1 at b2 ay y sangkap, at c1 at c2 ay mga sangkap z.
Hakbang 2. Upang idagdag ang dalawang mga vector, idagdag ang kanilang mga bahagi
Kung ang dalawang bahagi ng isang vector ay kilala, maaari kang magdagdag ng mga vector sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga bahagi ng bawat isa. Sa madaling salita, idagdag ang x-bahagi ng unang vector sa x-bahagi ng pangalawang vector, at gawin ang pareho para sa y at z. Ang sagot na makukuha mo mula sa pagdaragdag ng mga sangkap ng x, y, at z ng mga vector na iyon ay ang mga sangkap ng x, y, at z ng iyong bagong vector.
- Sa mga pangkalahatang tuntunin, A + B =.
- Magdagdag tayo ng dalawang mga vector A at B. A = at B =. A + B =, o.
Hakbang 3. Upang ibawas ang parehong mga vector, ibawas ang kanilang mga bahagi
Tulad ng pag-uusapan natin sa paglaon, na binabawas ang isang vector mula sa isa pa, maaaring maiisip bilang pagdaragdag ng mga katumbas na vector. Kung ang mga bahagi ng parehong mga vector ay kilala, posible na bawasan ang isang vector mula sa isa pa sa pamamagitan ng pagbawas ng unang sangkap mula sa pangalawang bahagi (o sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga negatibong sangkap ng pareho).
- Sa mga pangkalahatang tuntunin, A-B =
- Ibawas natin ang dalawang mga vector A at B. A = at B =. A - B =, o.
Paraan 2 ng 3: Pagdaragdag at Pagbabawas Sa Mga Larawan Gamit ang Pamamaraan ng Head at Tail
Hakbang 1. Simbolo ang vector sa pamamagitan ng pagguhit nito gamit ang ulo at buntot
Dahil ang mga vector ay may parehong lakas at direksyon, masasabi nating mayroon silang buntot at ulo. Sa madaling salita, ang isang vector ay may panimulang punto at isang end point na nagsasaad ng direksyon ng vector na ang distansya mula sa panimulang punto ay katumbas ng lakas ng vector. Kapag iginuhit, ang vector ay may hugis ng isang arrow. Ang dulo ng arrow ay ang ulo ng vector at ang dulo ng linya ng vector ay ang buntot.
Kung lumilikha ka ng isang pagguhit ng vector na may sukat, kakailanganin mong sukatin at iguhit nang wasto ang lahat ng mga sulok. Ang maling anggulo ng imahe ay makakaapekto sa resulta na resulta kapag ang dalawang mga vector ay idinagdag o binawas gamit ang pamamaraang ito
Hakbang 2. Upang idagdag, iguhit, o ilipat ang pangalawang vector upang ang buntot ay matugunan ang ulo ng unang vector
Ito ay tinatawag na pagsasama ng ulo sa mga buntot na vector. Kung nagdaragdag ka lamang ng dalawang mga vector, narito ang kailangan mong gawin bago maghanap ng mga resulta na vector.
Tandaan na ang pagkakasunud-sunod kung magdagdag ka ng mga vector ay hindi mahalaga, ipinapalagay na gumagamit ka ng parehong panimulang punto. Vector A + Vector B = Vector B + Veltor A
Hakbang 3. Upang ibawas, magdagdag ng isang negatibong pag-sign sa vector
Ang pagbabawas ng mga vector gamit ang mga imahe ay napaka-simple. Baligtarin ang direksyon ng vector, ngunit panatilihing pareho ang lakas at idagdag ang iyong vector ulo at buntot tulad ng dati. Sa madaling salita, upang ibawas ang isang vector, paikutin ang vector 180o at magdagdag.
Hakbang 4. Kung nagdagdag o nagbawas ng higit sa dalawang mga vector, pagsamahin ang lahat ng mga vector sa isang pagkakasunud-sunod sa ulo
Hindi mahalaga ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama. Ang pamamaraang ito ay maaaring magamit anuman ang bilang ng mga vector.
Hakbang 5. Gumuhit ng isang bagong vector mula sa buntot ng unang vector sa ulo ng huling vector
Kung nagdaragdag o nagbabawas ka ng dalawang mga vector o isang daang, ang vector na umaabot mula sa iyong paunang punto ng pagsisimula (ang buntot ng unang vector) hanggang sa dulo ng iyong huling vector (ang ulo ng iyong huling vector) ay ang resulta na vector o ang kabuuan ng lahat ng iyong mga vector. Tandaan na ang vector na ito ay eksaktong kapareho ng vector na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng lahat ng mga sangkap ng x, y, at / o z.
- Kung iguhit mo ang lahat ng iyong mga vector sa laki, sa pamamagitan ng pagsukat ng tama sa lahat ng mga anggulo, maaari mong matukoy ang laki ng nagreresultang vector sa pamamagitan ng pagsukat sa haba. Maaari mo ring sukatin ang anggulo sa pagitan ng nagreresulta at anumang vector pahalang o patayo upang matukoy ang direksyon nito.
- Kung hindi mo iginuhit ang lahat ng iyong mga vector sa laki, maaaring kalkulahin mo ang laki ng resulta gamit ang trigonometry. Siguro makakatulong ang Mga Panuntunan sa Sine at Cosine. Kung nagdagdag ka ng higit sa dalawang mga vector, kapaki-pakinabang na idagdag ang unang vector sa pangalawa, pagkatapos ay idagdag ang resulta ng pangalawa sa pangatlo, at iba pa. Tingnan ang mga sumusunod na seksyon para sa karagdagang impormasyon.
Hakbang 6. Iguhit ang iyong nagresultang vector gamit ang laki at direksyon nito
Ang isang vector ay tinukoy ng haba at direksyon nito. Tulad ng nasa itaas, sa pag-aakalang iginuhit mo ang iyong vector nang tumpak, ang lakas ng iyong bagong vector ay ang haba nito at ang direksyon nito ay ang anggulo na may kaugnayan sa patayong o pahalang na direksyon. Gumamit ng mga vector ng yunit na iyong idinagdag o binawas upang matukoy ang mga yunit para sa laki ng iyong nagresultang vector.
Halimbawa, kung ang mga idinagdag na vector ay kumakatawan sa tulin sa ms-1, kung gayon ang magreresultang vector ay maaaring tukuyin bilang "bilis x ms-1 laban sa y o sa pahalang na direksyon.
Paraan 3 ng 3: Pagdaragdag at Pagbawas ng Mga Vector sa pamamagitan ng Pagtukoy ng Mga Bahaging Dimensional ng Vector
Hakbang 1. Gumamit ng trigonometry upang matukoy ang mga bahagi ng isang vector
Upang mahanap ang mga bahagi ng isang vector, karaniwang kailangan mong malaman ang laki at direksyon nito na may kaugnayan sa pahalang o patayong direksyon at maunawaan ang trigonometry. Ipagpalagay na isang 2-dimensional na vector, una, isipin ang iyong vector bilang hypotenuse ng isang tamang tatsulok na ang dalawang panig ay parallel sa mga direksyon ng x at y. Ang dalawang panig na ito ay maaaring isipin bilang mga bahagi ng isang head-to-tail vector na nagdaragdag upang mabuo ang iyong vector.
- Ang haba ng magkabilang panig ay katumbas ng mga sangkap ng x at y ng iyong vector at maaaring kalkulahin gamit ang trigonometry. Kung ang x ay isang lakas ng vector, ang panig na katabi ng anggulo ng vector (na may kaugnayan sa pahalang, patayong, at iba pang mga direksyon) ay xcos (θ), habang ang kabaligtaran ay xsin (θ).
- Napakahalaga din na tandaan ang direksyon ng iyong mga bahagi. Kung ang sangkap ay tumuturo sa isang negatibong coordinate, bibigyan ito ng isang negatibong pag-sign. Halimbawa, sa isang 2-dimensional na eroplano, kung ang isang bahagi ay tumuturo sa kaliwa o pababa, ito ay negatibo.
- Halimbawa, sabihin nating mayroon tayong isang vector na may magnitude 3 at direksyon na 135o na may kaugnayan sa pahalang. Sa impormasyong ito, matutukoy natin na ang sangkap ng x ay 3cos (135) = - 2, 12 at ang y sangkap ay 3sin (135) = 2, 12
Hakbang 2. Magdagdag o ibawas ang dalawa o higit pang mga kaugnay na vector
Kapag nahanap mo na ang mga bahagi ng lahat ng iyong mga vector, idagdag ang mga ito upang makita ang mga bahagi ng iyong nagresultang vector. Una, idagdag ang lahat ng mga magnitude ng mga pahalang na bahagi (na parallel sa x-direction). Hiwalay, idagdag ang lahat ng mga magnitude ng mga patayong sangkap (na kahilera sa direksyon ng y). Kung ang isang bahagi ay negatibo (-), ang lakas nito ay ibabawas, hindi idagdag. Ang nakukuha mong sagot ay ang bahagi ng iyong nagresultang vector.
Halimbawa, ang vector mula sa nakaraang hakbang,, ay idinagdag sa vector. Sa kasong ito, ang nagreresultang vector ay nagiging o
Hakbang 3. Kalkulahin ang lakas ng nagresultang vector gamit ang Pythagorean Theorem
Teorema ng Pythagorean c2= a2+ b2, ay ginagamit upang mahanap ang haba ng gilid ng isang kanang tatsulok. Dahil ang tatsulok na nabuo ng aming nagresultang vector at ang mga bahagi nito ay isang tamang tatsulok, maaari namin itong magamit upang mahanap ang haba at magnitude ng vector. Sa c bilang ang laki ng nagreresultang vector, na hinahanap mo, ipagpalagay na ang lakas ng bahagi ng x at ang b ay ang laki ng y sangkap. Malutas ang paggamit ng algebra.
-
Upang makita ang laki ng vector na ang mga sangkap na hinahanap namin sa nakaraang hakbang,, gamitin ang Pythagorean Theorem. Lutasin ang mga sumusunod:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Hakbang 4. Kalkulahin ang resulta ng direksyon gamit ang Tangent function
Panghuli, hanapin ang resulta na vector ng direksyon. Gumamit ng formula = tan-1(b / a), kung saan ang laki ng anggulo na nabuo sa x o pahalang na direksyon, ang b ay ang laki ng y sangkap, at ang a ay ang laki ng sangkap ng x.
-
Upang mahanap ang direksyon ng aming vector, gamitin ang = tan-1(b / a).
- = tan-1(-6, 88/3, 66)
- = tan-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Hakbang 5. Iguhit ang iyong nagresultang vector alinsunod sa laki at direksyon nito
Tulad ng nakasulat sa itaas, ang mga vector ay tinukoy ng kanilang lakas at direksyon. Siguraduhing gamitin ang naaangkop na mga yunit para sa iyong laki ng vector.
Halimbawa, kung ang aming halimbawa ng vector ay kumakatawan sa isang puwersa (sa Newton), maaari namin itong isulat "puwersa 7.79 N ng -61.99 o sa pahalang ".
Mga Tip
- Ang Vector ay naiiba mula sa malaki.
- Ang mga vector na may parehong direksyon ay maaaring idagdag o ibawas sa pamamagitan ng pagdaragdag o pagbabawas ng kanilang mga kalakhan. kung ikaw sumali dalawang mga vector na nasa tapat, ang kanilang mga kalakasan ay binabawas, hindi naidagdag.
- Ang mga vector na kinatawan sa form x i + y j + z k ay maaaring maidagdag o mabawas sa pamamagitan ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga coefficients ng tatlong mga vector unit. Ang sagot ay nasa anyo din ng i, j, at k.
- Mahahanap mo ang laki ng isang three-dimensional vector gamit ang formula a2= b2+ c2+ d2 kung saan ang lakas ng vector, at b, c at d ang mga bahagi ng bawat direksyon.
- Ang mga vector vector ay maaaring idagdag at ibawas sa pamamagitan ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga halaga ng bawat hilera.
