Ang tumutukoy ng mga matris ay madalas na ginagamit sa calculus, linear algebra, at geometry sa isang mas mataas na antas. Sa labas ng akademya, ang mga inhinyero ng graphics ng computer at programmer ay gumagamit ng mga matrice at kanilang mga tumutukoy sa lahat ng oras. Kung alam mo na kung paano matukoy ang tumutukoy ng isang matrix ng pagkakasunud-sunod ng 2x2, kailangan mo lamang malaman kung kailan gagamitin ang karagdagan, pagbabawas, at mga oras upang matukoy ang tumutukoy ng isang matrix ng order 3x3.
Hakbang
Bahagi 1 ng 2: Pagtukoy sa Mga Determinant
Isulat ang iyong 3 x 3 order matrix. Magsisimula kami sa isang matrix A ng order 3x3 at subukang hanapin ang tumutukoy | A |. Nasa ibaba ang pangkalahatang anyo ng matrix notation na gagamitin namin at isang halimbawa ng aming matrix:
| a11 | a12 | a13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | a21 | a22 | a23 | = | 2 | 4 | 7 |
| a31 | a32 | a33 | 4 | 6 | 2 |
Hakbang 1. Pumili ng isang hilera o haligi
Gawin ang iyong napili na sanggunian hilera o haligi. Alinmang pipiliin mo, makakakuha ka pa rin ng parehong sagot. Pansamantalang piliin ang unang hilera. Bibigyan ka namin ng ilang mga mungkahi para sa pagpili ng pagpipilian na pinakamadaling makalkula sa susunod na seksyon.
Piliin ang unang hilera ng sample matrix A. Bilugan ang bilang 1 5 3. Sa karaniwang notasyon, bilog a11 a12 a13.
Hakbang 2. Tumawid sa hilera at haligi ng iyong unang elemento
Tingnan ang hilera o haligi na iyong pinalibot at piliin ang unang elemento. I-krus ang mga hilera at haligi. Magkakaroon lamang ng 4 na numero na naiwan na hindi nagalaw. Gawin ang 4 na numero na ito ng isang 2 x 2 order matrix.
- Sa aming halimbawa, ang aming sanggunian na hilera ay 1 5 3. Ang unang elemento ay nasa ika-1 hilera at ika-1 haligi. Tumawid sa buong ika-1 hilera at ika-1 haligi. Isulat ang natitirang mga elemento sa isang 2 x 2 matrix:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Hakbang 3. Tukuyin ang tumutukoy sa 2 x 2 order matrix
Tandaan, tukuyin ang tumutukoy ng matrix [ac bd] ni ad - bc. Maaari mo ring natutunan upang matukoy ang tumutukoy ng isang matrix sa pamamagitan ng pagguhit ng isang X sa pagitan ng isang 2 x 2. matrix. I-multiply ang dalawang numero na konektado sa pamamagitan ng linya / ng X. Pagkatapos, ibawas ang bilang ng mga beses sa dalawang numero na konektado sa pamamagitan ng linya / ay Gamitin ang formula na ito upang makalkula ang tumutukoy ng isang 2 x 2 matrix.
- Sa halimbawa, ang tumutukoy ng matrix [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Tinutukoy ang determinant na ito menor de edad ng mga elementong pinili mo sa paunang matrix. Sa kasong ito, natagpuan lamang namin ang menor de edad ng a11.
Hakbang 4. I-multiply ang bilang na natagpuan ng sangkap na iyong pinili
Tandaan, napili mo ang mga elemento mula sa hilera ng sanggunian (o haligi) kapag nagpasya ka kung aling mga hilera at haligi ang aalisin. I-multiply ang elementong ito sa pamamagitan ng tumutukoy ng 2 x 2 matrix na iyong natagpuan.
Sa halimbawa, pumili kami ng a11 na kung saan ay 1. I-multiply ang numerong ito sa pamamagitan ng -34 (ang tumutukoy sa 2 x 2 matrix) upang makakuha ng 1 * -34 = - 34.
Hakbang 5. Tukuyin ang simbolo ng iyong sagot
Ang susunod na hakbang ay kailangan mong i-multiply ang iyong sagot sa pamamagitan ng 1 o -1 upang makuha cofactor ng sangkap na iyong napili. Ang simbolo na iyong ginagamit ay nakasalalay sa kung saan ang mga elemento ay nasa 3 x 3 matrix. Tandaan, ginagamit ang talahanayan ng simbolo na ito upang matukoy ang multiplier ng iyong elemento:
- + - +
- - + -
- + - +
- Pinili kasi natin a11 na minarkahan ng isang +, paparami namin ang numero ng +1 (o sa madaling salita, huwag baguhin ito). Ang sagot na lilitaw ay magiging pareho, katulad - 34.
- Ang isa pang paraan upang tukuyin ang isang simbolo ay ang paggamit ng pormula (-1) i + j kung saan ako at j ay mga elemento ng row at haligi.
Hakbang 6. Ulitin ang prosesong ito para sa pangalawang elemento sa iyong sanggunian na hilera o haligi
Bumalik sa orihinal na 3 x 3 matrix na iyong pinalibot ang hilera o haligi nang mas maaga. Ulitin ang parehong proseso sa elemento:
-
Tumawid sa hilera at haligi ng elemento.
Sa kasong ito, piliin ang elemento a12 (na kung saan ay nagkakahalaga ng 5). Tumawid sa ika-1 hilera (1 5 3) at sa ika-2 haligi (5 4 6).
-
Gawin ang natitirang mga elemento sa isang 2x2 matrix.
Sa aming halimbawa, ang 2x2 order matrix para sa pangalawang elemento ay [24 72].
-
Tukuyin ang tumutukoy ng 2x2 matrix na ito.
Gamitin ang pormula ng ad - bc. (2 * 2 - 7 * 4 = -24)
-
I-multiply sa mga elemento ng iyong napiling 3x3 matrix.
-24 * 5 = -120
-
Magpasya kung i-multiply ang resulta sa itaas ng -1 o hindi.
Gumamit ng isang talahanayan ng mga simbolo o pormula (-1)ij. Piliin ang elemento a12 sinimbolo - sa talahanayan ng simbolo. Palitan ang simbolo ng aming sagot ng: (-1) * (- 120) = 120.
Hakbang 7. Ulitin ang parehong proseso para sa pangatlong elemento
Mayroon kang isa pang cofactor upang matukoy ang tumutukoy. Bilangin ako para sa pangatlong elemento sa iyong sanggunian na hilera o haligi. Narito ang isang mabilis na paraan upang makalkula ang cofactor a13 sa aming halimbawa:
- Tumawid sa ika-1 hilera at ika-3 haligi upang makuha ang [24 46].
- Ang tumutukoy ay 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
- I-multiply sa pamamagitan ng elemento a13: -4 * 3 = -12.
- Elemento a13 simbolo + sa simbolo ng simbolo, kaya ang sagot ay - 12.
Hakbang 8. Idagdag ang mga resulta ng iyong tatlong mga bilang
Ito ang huling hakbang. Nakalkula mo ang tatlong mga cofactor, isa para sa bawat elemento sa isang hilera o haligi. Idagdag ang mga resulta at mahahanap mo ang tumutukoy sa isang 3 x 3 matrix.
Sa halimbawa, ang tumutukoy ng matrix ay - 34 + 120 + - 12 = 74.
Bahagi 2 ng 2: Pagpapadali sa Paglutas ng Suliranin
Hakbang 1. Piliin ang hilera o haligi ng mga sanggunian na may pinakamaraming 0
Tandaan, maaari kang pumili ng anumang hilera o haligi na gusto mo. Alinmang pipiliin mo, ang sagot ay magiging pareho. Kung pipiliin mo ang isang hilera o haligi na may numero 0, kakailanganin mo lamang kalkulahin ang cofactor na may mga elemento na hindi 0 dahil:
- Halimbawa, piliin ang ika-2 hilera na mayroong elemento a21, a22, pondo23. Upang malutas ang problemang ito, gagamit kami ng 3 magkakaibang 2 x 2 matrice, sabihin nating A21, A22, Ikaw23.
- Ang tumutukoy ng 3x3 matrix ay a21| A21| - a22| A22| + a23| A23|.
- Kung ang22 pondo23 halaga 0, ang umiiral na pormula ay magiging a21| A21| - 0 * | A22| + 0 * | A23| = a21| A21| - 0 + 0 = a21| A21| Samakatuwid, makakalkula lamang namin ang cofactor ng isang elemento lamang.
Hakbang 2. Gumamit ng labis na mga hilera upang gawing mas madali ang mga problema sa matrix
Kung kukuha ka ng mga halaga mula sa isang hilera at idagdag ang mga ito sa isa pang hilera, ang nagbabago ng matrix ay hindi magbabago. Ang pareho ay totoo para sa mga haligi. Maaari mong gawin ito nang paulit-ulit o i-multiply ng isang pare-pareho bago idagdag ito upang makakuha ng maraming 0 sa matrix hangga't maaari. Maaari itong makatipid ng maraming oras.
- Halimbawa, mayroon kang isang matrix na may 3 mga hilera: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Upang maalis ang bilang 9 na nasa posisyon a11, maaari mong i-multiply ang halaga sa ika-2 hilera ng -3 at idagdag ang resulta sa unang hilera. Ngayon, ang bagong unang linya ay [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Ang bagong matrix ay may mga hilera [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Gumamit ng parehong trick sa mga haligi upang gumawa ng isang12 maging numero 0
Hakbang 3. Gamitin ang mabilis na pamamaraan para sa triangular matrices
Sa espesyal na kasong ito, ang tumutukoy ay ang produkto ng mga elemento sa pangunahing dayagonal, ng a11 sa kaliwang itaas sa a33 sa kanang bahagi sa ibaba ng matrix. Ang matrix na ito ay pa rin ng isang 3x3 matrix, ngunit ang "tatsulok" na matrix ay may isang espesyal na pattern ng mga numero na hindi 0:
- Itaas na tatsulok na matrix: Ang lahat ng mga elemento na hindi 0 ay nasa o sa itaas ng pangunahing dayagonal. Ang lahat ng mga numero sa ibaba ng pangunahing dayagonal ay 0.
- Ibabang tatsulok na matrix: Ang lahat ng mga elemento na hindi 0 ay nasa o sa ibaba ng pangunahing dayagonal.
- Diagonal matrix: Ang lahat ng mga elemento na hindi 0 ay nasa pangunahing dayagonal (ang subset ng mga nasa itaas na uri ng matrices).
Mga Tip
- Kung ang lahat ng mga elemento sa isang hilera o haligi ay 0, ang tumutukoy sa matrix ay 0.
- Ang pamamaraang ito ay maaaring magamit para sa lahat ng laki ng mga quadratic matrice. Halimbawa, kung gagamitin mo ang pamamaraang ito para sa isang matrix ng order 4x4, ang iyong "welga" ay mag-iiwan ng isang matrix ng pagkakasunud-sunod 3x3 na ang tumutukoy ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagsunod sa mga hakbang sa itaas. Tandaan, ang paggawa nito ay maaaring maging mainip!
